03 Você recebe um lápis, uma régua uniforme de 30 cm , um peso cilíndrico de 40 g e um peso cilíndrico de 20 g . Descreva como seria possível determinar, aproximadamente, de forma experimental a massa da régua.
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos: recebo um lápis (serve como apoio/fulcro), uma régua uniforme de
(massa desconhecida
), um peso cilíndrico de
e um peso cilíndrico de
. O que o enunciado pede: descrever como determinar, experimentalmente e aproximadamente, a massa da régua. Informações relevantes dadas:
- comprimento da régua:
; - a régua é uniforme (logo seu centro de massa está no ponto médio, a
de uma extremidade); - massas conhecidas:
e ; - há um lápis que podemos usar como fulcro (ponto de apoio móvel).
A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Conceito físico que vamos usar (explicado de forma simples): equilíbrio de torques (momento de força). O que é torque? Torque é a tendência de uma força provocar rotação em torno de um ponto. Para uma força vertical (peso), o torque em relação a um ponto é o produto da força pelo braço de alavanca (distância horizontal do ponto de aplicação da força até o fulcro). Em símbolos, para uma força
aplicada a uma distância
do fulcro, o torque é
. Aqui as forças são os pesos (força peso
), mas em um equilíbrio estático somamos torques e usamos que
é comum a todas as forças — logo ele se cancela nas equações, permitindo usar diretamente as massas multiplicadas pelas distâncias (isto é, torque proporcional a
). Em equilíbrio sem rotação, a soma algébrica dos torques em torno do fulcro é zero.
Passo 3
Centro de massa da régua uniforme (por que importa): para uma régua uniforme, toda a massa pode ser considerada concentrada no seu ponto médio para fins de torque. Como a régua tem
, o centro de massa fica a
de uma extremidade. Isso significa que o peso da régua age naquele ponto (distância conhecida) e produz torque igual a
vezes a distância do fulcro até
.
Passo 4
Montagem experimental prática (passo a passo físico): coloque a régua horizontalmente sobre o lápis, que será o fulcro móvel. Coloque o peso de
numa extremidade da régua (por exemplo, na extremidade esquerda, posição
medida a partir da extremidade esquerda) e coloque o peso de
na outra extremidade (extremidade direita, posição
). Deslize o lápis (fulcro) sob a régua até que a régua fique em equilíbrio horizontal (não gira). Nesse ponto, meça a posição
do fulcro relativamente à extremidade esquerda (isto é,
em centímetros a partir da extremidade esquerda). Anote
(faça várias medidas e tire média para reduzir erro).
Passo 5
Definição de variáveis e montagem da equação de equilíbrio de torques: marque as posições (todas medidas ao longo da régua a partir da extremidade esquerda):
- posição do peso de
: ; - posição do peso de
: ; - posição do centro de massa da régua:
; - posição do fulcro (medida experimental):
(em cm).
Em equilíbrio, somando torques em torno do fulcro e usando sinais algébricos (torques que tendem a girar em sentidos opostos têm sinais opostos), temos a equação
onde as massas estão em gramas e as distâncias em centímetros (o fator
foi dividido em ambos os lados e cancelou).
Passo 6
Substituindo as posições conhecidas na equação e desenvolvendo passo a passo: substituindo
,
e
obtemos
Agora desenvolvo cada termo:
logo a soma dá
Somando os termos em
sem
:
Passo 7
Isolando
passo a passo: passo o termo com
para o outro lado e continuo a simplificação:
Agora divido ambos os lados por
(desde que
, i.e., o fulcro não esteja exatamente no centro, condição prática que discutiremos depois):
Fatorando
no numerador fica mais compacto:
Essa é a fórmula prática: mede-se
(em cm) e obtém-se
em gramas.
Passo 8
Interpretação prática da fórmula e intervalo válido para
: para que
seja positivo, o numerador e denominador devem ter o mesmo sinal. Isso dá a condição prática
Ou seja, ao colocar
numa extremidade esquerda e
na extremidade direita, o fulcro onde a régua equilibrar deve ficar entre
e
da extremidade esquerda; se isso não ocorrer (fulcro sair desse intervalo), troque os lados dos pesos ou coloque-os a pequenas distâncias das extremidades e refaça o procedimento para obter um ponto de equilíbrio útil.
Passo 9
Exemplo numérico ilustrativo (mostra como calcular sem pular passos): suponha que, experimentalmente, ao colocar
na extremidade esquerda e
na direita, a régua equilibrar quando o fulcro estiver em
da extremidade esquerda. Substituo na fórmula:
Logo
(este é um exemplo numérico; o valor real virá do
que você medir).
Passo 10
Dicas práticas para reduzir erro (porque é experimental): fazer várias repetições e tirar a média de
; usar fita adesiva sob a régua para evitar escorregamento; posicionar os pesos bem no centro das extremidades (ou medir precisamente onde eles ficam); ler a posição
com régua e lupa se precisa; evitar atrito excessivo no apoio (o lápis deve ser fino e permitir rotação livre); se
ficar muito próximo de
(denominador pequeno), o erro na medição de
amplifica o erro em
, então escolha uma configuração que dê
confortável entre
e
.
Passo 11
Resumo do método em linguagem direta, tipo receita de prova: coloque
numa extremidade,
na outra, mova o lápis até o equilíbrio, meça
(distância do fulcro à extremidade esquerda) e calcule a massa da régua pela fórmula
Se a posição de equilíbrio
não ficar entre
e
, troque a posição dos pesos ou aproxime-os das extremidades até obter um
na faixa adequada.
Resposta
Colocar
na extremidade esquerda (
),
na extremidade direita (
), mover o lápis até a régua equilibrar e medir
(cm) a partir da extremidade esquerda; então calcular a massa da régua por