03 Você recebe um lápis, uma régua uniforme de 30 cm , um peso cilíndrico de 40 g e um peso cilíndrico de 20 g . Descreva como seria possível determinar, aproximadamente, de forma experimental a massa da régua.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos: recebo um lápis (serve como apoio/fulcro), uma régua uniforme de 30\\ \text{cm} (massa desconhecida M), um peso cilíndrico de 40\\ \text{g} e um peso cilíndrico de 20\\ \text{g}. O que o enunciado pede: descrever como determinar, experimentalmente e aproximadamente, a massa da régua. Informações relevantes dadas:
  • comprimento da régua: 30\\ \text{cm};
  • a régua é uniforme (logo seu centro de massa está no ponto médio, a 15\\ \text{cm} de uma extremidade);
  • massas conhecidas: 40\\ \text{g} e 20\\ \text{g};
  • há um lápis que podemos usar como fulcro (ponto de apoio móvel).
    A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicado de forma simples): equilíbrio de torques (momento de força). O que é torque? Torque é a tendência de uma força provocar rotação em torno de um ponto. Para uma força vertical (peso), o torque em relação a um ponto é o produto da força pelo braço de alavanca (distância horizontal do ponto de aplicação da força até o fulcro). Em símbolos, para uma força F aplicada a uma distância d do fulcro, o torque é \tau=F\cdot d. Aqui as forças são os pesos (força peso =m\cdot g), mas em um equilíbrio estático somamos torques e usamos que g é comum a todas as forças — logo ele se cancela nas equações, permitindo usar diretamente as massas multiplicadas pelas distâncias (isto é, torque proporcional a m\cdot d). Em equilíbrio sem rotação, a soma algébrica dos torques em torno do fulcro é zero.

Passo 3

Centro de massa da régua uniforme (por que importa): para uma régua uniforme, toda a massa pode ser considerada concentrada no seu ponto médio para fins de torque. Como a régua tem 30\\ \text{cm}, o centro de massa fica a 15\\ \text{cm} de uma extremidade. Isso significa que o peso da régua age naquele ponto (distância conhecida) e produz torque igual a M\cdot g vezes a distância do fulcro até 15\\ \text{cm}.

Passo 4

Montagem experimental prática (passo a passo físico): coloque a régua horizontalmente sobre o lápis, que será o fulcro móvel. Coloque o peso de 40\\ \text{g} numa extremidade da régua (por exemplo, na extremidade esquerda, posição x_{40}=0\\ \text{cm} medida a partir da extremidade esquerda) e coloque o peso de 20\\ \text{g} na outra extremidade (extremidade direita, posição x_{20}=30\\ \text{cm}). Deslize o lápis (fulcro) sob a régua até que a régua fique em equilíbrio horizontal (não gira). Nesse ponto, meça a posição p do fulcro relativamente à extremidade esquerda (isto é, p em centímetros a partir da extremidade esquerda). Anote p (faça várias medidas e tire média para reduzir erro).

Passo 5

Definição de variáveis e montagem da equação de equilíbrio de torques: marque as posições (todas medidas ao longo da régua a partir da extremidade esquerda):
  • posição do peso de 40\\ \text{g}: x_{40}=0\\ \text{cm};
  • posição do peso de 20\\ \text{g}: x_{20}=30\\ \text{cm};
  • posição do centro de massa da régua: x_{\text{cm}}=15\\ \text{cm};
  • posição do fulcro (medida experimental): p (em cm).
    Em equilíbrio, somando torques em torno do fulcro e usando sinais algébricos (torques que tendem a girar em sentidos opostos têm sinais opostos), temos a equação
40\,(x_{40}-p)+20\,(x_{20}-p)+M\,(x_{\text{cm}}-p)=0,
onde as massas estão em gramas e as distâncias em centímetros (o fator g foi dividido em ambos os lados e cancelou).

Passo 6

Substituindo as posições conhecidas na equação e desenvolvendo passo a passo: substituindo x_{40}=0, x_{20}=30 e x_{\text{cm}}=15 obtemos
40\,(0-p)+20\,(30-p)+M\,(15-p)=0.
Agora desenvolvo cada termo:
40\,(0-p)=-40p,
20\,(30-p)=600-20p,
logo a soma dá
-40p+600-20p+M\,(15-p)=0.
Somando os termos em p sem M:
600-60p+M\,(15-p)=0.

Passo 7

Isolando M passo a passo: passo o termo com M para o outro lado e continuo a simplificação:
M\,(15-p)=60p-600.
Agora divido ambos os lados por (15-p) (desde que 15-p\neq 0, i.e., o fulcro não esteja exatamente no centro, condição prática que discutiremos depois):
M=\dfrac{60p-600}{15-p}.
Fatorando 60 no numerador fica mais compacto:
M=\dfrac{60(p-10)}{15-p}.
Essa é a fórmula prática: mede-se p (em cm) e obtém-se M em gramas.

Passo 8

Interpretação prática da fórmula e intervalo válido para p: para que M seja positivo, o numerador e denominador devem ter o mesmo sinal. Isso dá a condição prática
10<p<15.
Ou seja, ao colocar 40\\ \text{g} numa extremidade esquerda e 20\\ \text{g} na extremidade direita, o fulcro onde a régua equilibrar deve ficar entre 10\\ \text{cm} e 15\\ \text{cm} da extremidade esquerda; se isso não ocorrer (fulcro sair desse intervalo), troque os lados dos pesos ou coloque-os a pequenas distâncias das extremidades e refaça o procedimento para obter um ponto de equilíbrio útil.

Passo 9

Exemplo numérico ilustrativo (mostra como calcular sem pular passos): suponha que, experimentalmente, ao colocar 40\\ \text{g} na extremidade esquerda e 20\\ \text{g} na direita, a régua equilibrar quando o fulcro estiver em p=12{,}0\\ \text{cm} da extremidade esquerda. Substituo na fórmula:
M=\dfrac{60(12-10)}{15-12}=\dfrac{60\cdot 2}{3}=\dfrac{120}{3}=40.
Logo M=40\\ \text{g} (este é um exemplo numérico; o valor real virá do p que você medir).

Passo 10

Dicas práticas para reduzir erro (porque é experimental): fazer várias repetições e tirar a média de p; usar fita adesiva sob a régua para evitar escorregamento; posicionar os pesos bem no centro das extremidades (ou medir precisamente onde eles ficam); ler a posição p com régua e lupa se precisa; evitar atrito excessivo no apoio (o lápis deve ser fino e permitir rotação livre); se p ficar muito próximo de 15\\ \text{cm} (denominador pequeno), o erro na medição de p amplifica o erro em M, então escolha uma configuração que dê p confortável entre 10 e 14\\ \text{cm}.

Passo 11

Resumo do método em linguagem direta, tipo receita de prova: coloque 40\\ \text{g} numa extremidade, 20\\ \text{g} na outra, mova o lápis até o equilíbrio, meça p (distância do fulcro à extremidade esquerda) e calcule a massa da régua pela fórmula
M=\dfrac{60(p-10)}{15-p}\quad(\text{com }p\text{ em cm, }M\text{ em g}).
Se a posição de equilíbrio p não ficar entre 10 e 15\\ \text{cm}, troque a posição dos pesos ou aproxime-os das extremidades até obter um p na faixa adequada.

Resposta

Colocar 40\\ \text{g} na extremidade esquerda ( x_{40}=0), 20\\ \text{g} na extremidade direita ( x_{20}=30), mover o lápis até a régua equilibrar e medir p (cm) a partir da extremidade esquerda; então calcular a massa da régua por
M=\dfrac{60(p-10)}{15-p}\ \text{(em g)}.

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