( 2,0 pontos) Uma bomba manual é usada para inflar o pneu de uma bicicleta ocm um gás diatômico até uma pressão manométrica de 482 kPa .
(a) Qual o trabalho que deve ser realizado se cada curso da bomba for um processo adiabático quase-estático? Considere a temperatura externa
e que o volume do ar no pneu permanece constante em
.
(b) Qual será a pressão no pneu inflado depois que a bomba for removida e a temperatura do ar no pneu voltar a
?
(a) Qual o trabalho que deve ser realizado se cada curso da bomba for um processo adiabático quase-estático? Considere a temperatura externa
(b) Qual será a pressão no pneu inflado depois que a bomba for removida e a temperatura do ar no pneu voltar a
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular o trabalho realizado se cada curso da bomba for um processo adiabático quase‑estático.
- (b) Determinar a pressão no pneu depois que a bomba for removida e o ar no pneu voltar à temperatura externa
.
Informações dadas (vou listar tudo que vou usar):
Observação importante: vou tratar o trecho de gás que é levado pela bomba e fica no pneu como uma porção que, antes da compressão, estava à pressão
e ocupava um volume
, e que, após compressão adiabática reversível, fica no pneu com
e volume
. A bomba faz a compressão reversível adiabática desse trecho de gás de
para
. No Passo 2 começo a desenvolver essa ideia matemática.
Passo 2
Relembre a relação adiabática (processo adiabático reversível para gás ideal):
Aplicando entre estado 1 (inicial, ambiente) e estado 2 (final, comprimido no pneu):
Desse modo podemos obter
em função de
,
e
:
Vou calcular numericamente essa razão para obter
.
Passo 3
Calcule a razão
e
:
Com
obtemos o expoente
. Logo
Portanto
Interpretação prática: o trecho de gás que ficou no pneu, antes da compressão, ocupava cerca de
à pressão ambiente e depois foi comprimido para
dentro do pneu.
Passo 4
Para um processo adiabático reversível de um gás ideal, o trabalho realizado sobre o gás (trabalho por compressão, positivo quando feito no gás) pode ser escrito pela fórmula (derivada da 1ª lei e propriedades adiabáticas):
Vou explicar rapidinho por que essa fórmula: para um gás ideal em processo adiabático reversível temos a energia interna
e
(pois
), integrando e usando relações adiabáticas chega‑se a essa expressão em termos de pressões e volumes iniciais e finais.
Agora calculamos os termos numéricos
e
.
Passo 5
Calcule
e
:
Agora subtraímos e dividimos por
(onde
) para obter o trabalho.]
Passo 6
Calcule o trabalho
:
Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos:
Isso responde a parte (a): é a energia mecânica necessária para comprimir reversivelmente adiabaticamente a porção de gás que ficou no pneu.
Passo 7
Para a parte (b) precisamos ver o que acontece quando a bomba é removida e o ar no pneu volta à temperatura externa
. Durante a compressão adiabática reversível, a temperatura do gás subiu. Podemos obter a temperatura final imediata
(após compressão, antes do resfriamento) pela relação adiabática em termos de temperaturas e volumes:
Já temos
e
.
Passo 8
Calcule
:
Ou seja, o ar comprimido ficou bem mais quente (
) imediatamente após a compressão.
Passo 9
Quando a bomba é removida o ar no pneu resfria de
para
. Como o volume do ar no pneu permanece constante (
fixo), a pressão final
após o resfriamento relaciona‑se por lei dos gases ideais (isocórico):
Logo
Substituindo números:
Em termos de pressão manométrica (gauge), subtraímos
:
Resposta
(a)
(b) Pressão absoluta final ; pressão manométrica final
(≈
).
(b) Pressão absoluta final