( 2,0 pontos) Uma bomba manual é usada para inflar o pneu de uma bicicleta ocm um gás diatômico até uma pressão manométrica de 482 kPa .
(a) Qual o trabalho que deve ser realizado se cada curso da bomba for um processo adiabático quase-estático? Considere a temperatura externa T=20^{\circ} \mathrm{C} e que o volume do ar no pneu permanece constante em 1,00 \mathrm{~L}.
(b) Qual será a pressão no pneu inflado depois que a bomba for removida e a temperatura do ar no pneu voltar a 20^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Calcular o trabalho realizado se cada curso da bomba for um processo adiabático quase‑estático.
  2. (b) Determinar a pressão no pneu depois que a bomba for removida e o ar no pneu voltar à temperatura externa T=20^\circ\mathrm{C}.
Informações dadas (vou listar tudo que vou usar):
\begin{aligned} &\text{pressão manométrica final: } p_{\text{gauge}}=482\\ \mathrm{kPa},\\\ &\text{pressão ambiente (assumida): } p_0=101\\ \mathrm{kPa}=\;1{,}01\times10^{5}\,\mathrm{Pa},\\\ &\text{logo pressão absoluta final: } p_2 = p_0 + p_{\text{gauge}} = 583\\ \mathrm{kPa}=\;5{,}83\times10^{5}\,\mathrm{Pa},\\\ &\text{volume do ar no pneu (constante): } V_2=1{,}00\\ \mathrm{L}=\;1{,}00\times10^{-3}\,\mathrm{m^{3}},\\\ &\text{temperatura ambiente inicial: } T_0=20^\circ\mathrm{C}=293\\ \mathrm{K},\\\ &\text{gás diatômico (ar), razão de capacidades: } \gamma=\frac{c_p}{c_v}=1{,}40. \end{aligned}ãéããáôã
Observação importante: vou tratar o trecho de gás que é levado pela bomba e fica no pneu como uma porção que, antes da compressão, estava à pressão p_0 e ocupava um volume V_1, e que, após compressão adiabática reversível, fica no pneu com p_2 e volume V_2. A bomba faz a compressão reversível adiabática desse trecho de gás de (p_0,V_1,T_0) para (p_2,V_2,T_2). No Passo 2 começo a desenvolver essa ideia matemática.

Passo 2

Relembre a relação adiabática (processo adiabático reversível para gás ideal):
pV^\gamma=\text{const}.
Aplicando entre estado 1 (inicial, ambiente) e estado 2 (final, comprimido no pneu):
p_0 V_1^\gamma = p_2 V_2^\gamma.
Desse modo podemos obter V_1 em função de V_2, p_0 e p_2:
V_1 = V_2\left(\frac{p_2}{p_0}\right)^{1/\gamma}.
Vou calcular numericamente essa razão para obter V_1.

Passo 3

Calcule a razão \dfrac{p_2}{p_0} e V_1:
\frac{p_2}{p_0}=\frac{5{,}83\times10^{5}}{1{,}01\times10^{5}}=5{,}772\ldots
Com \gamma=1{,}40 obtemos o expoente 1/\gamma\approx0{,}7142857. Logo
\left(\frac{p_2}{p_0}\right)^{1/\gamma}\approx(5{,}772)^{0{,}7142857}\approx3{,}50.
Portanto
V_1 = V_2\cdot 3{,}50 = 1{,}00\times10^{-3}\,\mathrm{m^{3}}\times 3{,}50 = 3{,}50\times10^{-3}\,\mathrm{m^{3}}.
Interpretação prática: o trecho de gás que ficou no pneu, antes da compressão, ocupava cerca de 3{,}50\\ \mathrm{L} à pressão ambiente e depois foi comprimido para 1{,}00\\ \mathrm{L} dentro do pneu.

Passo 4

Para um processo adiabático reversível de um gás ideal, o trabalho realizado sobre o gás (trabalho por compressão, positivo quando feito no gás) pode ser escrito pela fórmula (derivada da 1ª lei e propriedades adiabáticas):
W = \frac{p_2 V_2 - p_0 V_1}{\gamma - 1}.
Vou explicar rapidinho por que essa fórmula: para um gás ideal em processo adiabático reversível temos a energia interna U=c_v n T e dU = -\delta W (pois Q=0), integrando e usando relações adiabáticas chega‑se a essa expressão em termos de pressões e volumes iniciais e finais.
Agora calculamos os termos numéricos p_2 V_2 e p_0 V_1.

Passo 5

Calcule p_2 V_2 e p_0 V_1:
\begin{aligned} p_2 V_2 &= 5{,}83\times10^{5}\,\mathrm{Pa}\times 1{,}00\times10^{-3}\,\mathrm{m^{3}} = 5{,}83\times10^{2}\,\mathrm{J} = 583\\ \mathrm{J},\\[6pt] p_0 V_1 &= 1{,}01\times10^{5}\,\mathrm{Pa}\times 3{,}50\times10^{-3}\,\mathrm{m^{3}} = 3{,}535\times10^{2}\,\mathrm{J} \approx 353{,}5\\ \mathrm{J}. \end{aligned}
Agora subtraímos e dividimos por \gamma-1 (onde \gamma-1=0{,}40) para obter o trabalho.]

Passo 6

Calcule o trabalho W:
W = \frac{p_2 V_2 - p_0 V_1}{\gamma - 1} = \frac{583\\ \mathrm{J} - 353{,}5\\ \mathrm{J}}{0{,}40} = \frac{229{,}5\\ \mathrm{J}}{0{,}40} = 573{,}75\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos:
W \approx 5{,}74\times10^{2}\\ \mathrm{J}.
Isso responde a parte (a): é a energia mecânica necessária para comprimir reversivelmente adiabaticamente a porção de gás que ficou no pneu.

Passo 7

Para a parte (b) precisamos ver o que acontece quando a bomba é removida e o ar no pneu volta à temperatura externa T_0=293\\ \mathrm{K}. Durante a compressão adiabática reversível, a temperatura do gás subiu. Podemos obter a temperatura final imediata T_2 (após compressão, antes do resfriamento) pela relação adiabática em termos de temperaturas e volumes:
T_2 = T_0\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma - 1}.
Já temos V_1/V_2 \approx 3{,}50 e \gamma-1=0{,}40.

Passo 8

Calcule T_2:
\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma - 1} = (3{,}50)^{0{,}40}\approx 1{,}651,
T_2 = 293\\ \mathrm{K}\times 1{,}651 \approx 483{,}6\\ \mathrm{K}.
Ou seja, o ar comprimido ficou bem mais quente ( \approx 484\\ \mathrm{K}) imediatamente após a compressão.

Passo 9

Quando a bomba é removida o ar no pneu resfria de T_2 para T_0=293\\ \mathrm{K}. Como o volume do ar no pneu permanece constante ( V_2 fixo), a pressão final p_{\text{final}} após o resfriamento relaciona‑se por lei dos gases ideais (isocórico):
\frac{p_{\text{final}}}{p_2}=\frac{T_0}{T_2}.
Logo
p_{\text{final}} = p_2\frac{T_0}{T_2}.
Substituindo números:
p_{\text{final}} = 5{,}83\times10^{5}\,\mathrm{Pa}\times\frac{293}{483{,}6}\approx 3{,}54\times10^{5}\,\mathrm{Pa}.
Em termos de pressão manométrica (gauge), subtraímos p_0:
p_{\text{gauge, final}} = p_{\text{final}} - p_0 = 3{,}54\times10^{5}\,\mathrm{Pa} - 1{,}01\times10^{5}\,\mathrm{Pa} \approx 2{,}53\times10^{5}\,\mathrm{Pa} = 253\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

(a) W \approx 5{,}74\times10^{2}\\ \mathrm{J}.
(b) Pressão absoluta final p_{\text{final}}\approx 3{,}54\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}; pressão manométrica final \approx 2{,}53\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (≈ 253\\ \mathrm{kPa}).

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