Um avião sobrevoa o monte Everest ( 29028 ft ) onde a temperatura é de -20^circ C. Na base do monte a pressão atmosférica é de 1 atm e a temperatura é de 20^circ C. Estime a pressão e a massa específica do ar ( kg / m^3 ) no topo do monte, considerando:
a) Ar como um fluido incompressível (Massa específica do ar constante e igual ao valor na base: rhoA r=1,0 kg / m^3)(R: P=1 4 5 2 9 P a)
b) Ar como gás ideal e a temperatura constante. ( R : P = 3 0 7 8 8 P a / rho=0 , 4 2 3 k g / m^3 )
c) Ar como gás ideal e a temperatura variando linearmente entre a base e o topo do monte. (R: P = 33521 Pa/ rho=0 , 4 6 k g / m^3 )
Compare os resultados e analise-os criticamente.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a pressão e a massa específica do ar no topo do Everest (altura h=29028 ft) usando três hipóteses. Na base temos P0=1 atm ( =101325 Pa) e T0=20^circC ( =293 K); no topo Th=-20^circC ( =253 K). Vamos precisar da equação da estática de fluidos
dPdz=-rho g
e da lei dos gases ideais
P=rho R T,
com g=9,81 m/s² e R=287 J/(kg·K). Convertemos a altitude para metros:
h=29028;fttimes0,3048;mftapprox8848;m

Passo 2

(a) Ar incompressível ( rho=1,0 kg/m³ constante):
Integramos
dPdz=-rho g
de z=0 a z=h, obtendo
Ph = P0 - rho,g,h
Substituindo rho=1,0 kg/m³, g=9,81 m/s² e h=8848 m, vem
Ph = 101325 - 1,0cdot9,81cdot8848approx1,45times10^4;Pa

Passo 3

(b) Ar ideal e isoterma em T=Th=253 K:
Agora rho=P/(RT) varia com P. A estática dá
dPdz=-PRT,g ;Longrightarrow; dPP=-gR,Thdz,
integrando de 0 a h:
Ph = P0exp!l(-g,hR,Thr)
Com g,h/(R,Th)approx1,19 resulta
Phapprox101325,e^-1,19approx3,08times10^4;Pa
E a massa específica no topo é
rhoh=PhR,Thapprox30788287cdot253approx0,423;kg/m^3

Passo 4

(c) Ar ideal com temperatura decaindo linearmente de T0 a Th:
O gradiente de temperatura é
L=T0-Thh=293-2538848approx4,52times10^-3;K/m
Para T(z)=T0-L,z, a integração dá a fórmula padrão
Ph = P0l(ThT0r)^gR,L
Aqui gR,Lapprox7,56 e tfracThT0=tfrac253293approx0,863, logo
Phapprox101325,(0,863)^7,56approx3,35times10^4;Pa
A massa específica então vale
rhoh=PhR,Thapprox33521287cdot253approx0,460;kg/m^3

Passo 5

Comparando:
  • (a) dá apenas Phapprox1,45times10^4 Pa, valor muito baixo pois despreza a variação de densidade.
  • (b) isoterma em Th subestima um pouco Ph, porque na realidade a temperatura é maior até certa altitude.
  • (c) com lapserate fornece Phapprox3,35times10^4 Pa e rhohapprox0,46 kg/m³, que é o resultado mais realista (típico valor de pressão no Everest).

Resposta

(a) Phapprox1,45times10^4 Pa (com rho=1,0 kg/m³).
(b) Phapprox3,08times10^4 Pa e rhohapprox0,423 kg/m³.
(c) Phapprox3,35times10^4 Pa e rhohapprox0,460 kg/m³.

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