In each of Problems 13 and 14 solve the given initial value problem and determine at least approximately where the solution is valid.
Passo 1
O enunciado é um problema de equação diferencial exata com condição inicial
. Temos
onde
O que vamos precisar:
– Verificar se é exata: checar .
– Se for exata, achar uma função potencial tal que
e
.
– Impor a condição inicial para determinar a constante.
– Resolver implicitamente e, se possível, isolar .
– Ver onde a solução é válida (domínio de existência e unicidade).
– Verificar se é exata: checar
– Se for exata, achar uma função potencial
– Impor a condição inicial para determinar a constante.
– Resolver implicitamente e, se possível, isolar
– Ver onde a solução é válida (domínio de existência e unicidade).
Passo 2
Checamos exatidão:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integrando em relação a
:
onde
é função apenas de
. Agora impomos
Logo
e, integrando,
(constante absorvida depois). Assim
Passo 4
A solução geral implícita é
Usando
:
fica
. Portanto a solução implícita é
Passo 5
Para isolar
, escrevemos como equação quadrática em
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Passo 6
No ponto
temos
, e as raízes são
Como a condição inicial é
, escolhemos o sinal
. Logo a solução explícita é
Passo 7
Para que a solução seja real e diferenciável, precisamos de duas coisas:
- O radicando ficar não negativo:
- A condição do teorema de função implícita
, onde . Temos que anula-se exatamente quando , ou seja nos extremos . Portanto existe unicidade em
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
válida para