In each of Problems 13 and 14 solve the given initial value problem and determine at least approximately where the solution is valid.
(2 x-y) d x+(2 y-x) d y=0, y(1)=3

Passo 1

O enunciado é um problema de equação diferencial exata com condição inicial y(1)=3. Temos
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
onde
M(x,y)=2x - y, N(x,y)=2y - x
O que vamos precisar:
– Verificar se é exata: checar partial M/partial y = partial N/partial x.
– Se for exata, achar uma função potencial phi(x,y) tal que phix=M e phiy=N.
– Impor a condição inicial para determinar a constante.
– Resolver implicitamente e, se possível, isolar y.
– Ver onde a solução é válida (domínio de existência e unicidade).

Passo 2

Checamos exatidão:
partial Mpartial y =partialpartial y(2x - y) =-1, partial Npartial x =partialpartial x(2y - x) =-1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M=2x - y
Integrando em relação a x:
phi(x,y) =integral (2x - y),dx =x^2 - xy + h(y),
onde h(y) é função apenas de y. Agora impomos
partial phipartial y =-x + h'(y) stackrel!=N=2y - x
Logo h'(y)=2y e, integrando, h(y)=y^2 (constante absorvida depois). Assim
phi(x,y)=x^2 - xy + y^2

Passo 4

A solução geral implícita é
phi(x,y)=x^2 - xy + y^2 = C
Usando y(1)=3:
1^2 - 1cdot3 + 3^2 = 1 - 3 +9 =7,
fica C=7. Portanto a solução implícita é
x^2 - xy + y^2 =7

Passo 5

Para isolar y, escrevemos como equação quadrática em y:
y^2 - x,y + (x^2 -7)=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
y =x pm raizx^2 -4(x^2 -7)2 =x pm raiz28 -3x^22

Passo 6

No ponto x=1 temos raiz28-3cdot1^2=raiz25=5, e as raízes são
y(1)=1pm52=3,,-2
Como a condição inicial é y(1)=3, escolhemos o sinal +. Logo a solução explícita é
y(x) =x + raiz28 -3x^22

Passo 7

Para que a solução seja real e diferenciável, precisamos de duas coisas:
  1. O radicando ficar não negativo:
  2. A condição do teorema de função implícita , onde . Temos que anula-se exatamente quando , ou seja nos extremos . Portanto existe unicidade em

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) =x + raiz28 -3x^22,
válida para
-raiztfrac283<x<raiztfrac283 (aproximadamente -3,055<x<3,055)

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