Para a função g(x)=|2 x+1||3-x|, determine o domínio, imagem, raiz, intercepto no eixo y e esboce o gráfico da função. Quando x está arbitrariamente próximo de x=3, qual o comportamento da função y=g(x) ? Quando x é arbitrariamente grande (positivo ou negativo em modulo (x pm infty) ), qual o comportamento da função y=g(x)

Passo 1

O enunciado pede para a função
g(x)=lvert 2x+1rvertlvert 3-xrvert
determinarmos o domínio, a imagem (ou alcance), a raiz (zero), o intercepto no eixo y, esboçarmos o gráfico e analisarmos o comportamento de g(x) quando xto3 e quando xtopminfty. Vamos usar propriedades de valores absolutos, definição de função racional por partes e análise de assíntotas.

Passo 2

Domínio: o denominador não pode ser zero, logo
3 - x neq 0 Longrightarrow xneq3
Raiz: resolvemos lvert 2x+1rvert=0, daí
2x+1=0 Longrightarrow x=-tfrac12
Intercepto em y (ou seja, em x=0):
g(0)=lvert2cdot0+1rvertlvert3-0rvert =13

Passo 3

Para esboçar o gráfico, quebramos em intervalos onde mudam os sinais de 2x+1 e de 3-x:
  1. Para x<-tfrac12: 2x+1<0, 3-x>0, g(x)=-(2x+1)3-x=-2x-13-x
  2. Para -tfrac12<= x<3: 2x+1>=0, 3-x>0, g(x)=2x+13-x
  3. Para x>3: 2x+1>0, 3-x<0, g(x)=2x+1x-3
Cada ramo é uma hipérbole deslocada.

Passo 4

Assíntotas:
  • Vertical em x=3: quando xto3^pm, o denominador to0 positivo ou negativo, mas lvertcdotrvert faz a função tender a +infty de ambos os lados.
  • Horizontal em y=2: para lvert xrverttoinfty, g(x)sim|2x||x|=2, logo y=2 é assíntota. Pode-se verificar que, conforme xto-infty, g(x) aproxima-se de 2 por baixo, e conforme xto+infty, aproxima-se de 2 por cima.

Passo 5

Imagem: como g(x)>=0 em todo o domínio, atinge o valor 0 (na raiz x=-tfrac12) e cresce sem limite ao se aproximar de x=3, temos
Im(g)=[0,,+infty)

Passo 6

Esboço do gráfico (descrevendo):
  • Para x<-tfrac12 o ramo parte de yapprox2 quando xto-infty (por baixo), decresce até chegar a g(-tfrac12)=0.
  • Para -tfrac12<= x<3 o ramo parte de 0 em x=-tfrac12, passa por (0,tfrac13) e cresce sem limite conforme xto3^-.
  • Para x>3 o ramo vem de +infty em x=3^+ e decresce, aproximando-se de y=2 por cima quando xto+infty.

Resposta

Domínio: xneq3.
Imagem: [0,infty).
Raiz: x=-tfrac12.
Intercepto em y: g(0)=tfrac13.
Quando xto3, g(x)to+infty (assíntota vertical).
Quando xtopminfty, g(x)to2 (assíntota horizontal y=2).

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