Para a função
, determine o domínio, imagem, raiz, intercepto no eixo y e esboce o gráfico da função. Quando
está arbitrariamente próximo de
, qual o comportamento da função
? Quando
é arbitrariamente grande (positivo ou negativo em modulo
), qual o comportamento da função
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinarmos o domínio, a imagem (ou alcance), a raiz (zero), o intercepto no eixo
, esboçarmos o gráfico e analisarmos o comportamento de
quando
e quando
. Vamos usar propriedades de valores absolutos, definição de função racional por partes e análise de assíntotas.
Passo 2
Domínio: o denominador não pode ser zero, logo
Raiz: resolvemos
, daí
Intercepto em
(ou seja, em
):
Passo 3
Para esboçar o gráfico, quebramos em intervalos onde mudam os sinais de
e de
:
- Para
: , , - Para
: , , - Para
: , ,
Cada ramo é uma hipérbole deslocada.
Passo 4
Assíntotas:
- Vertical em
: quando , o denominador positivo ou negativo, mas faz a função tender a de ambos os lados. - Horizontal em
: para , logo é assíntota. Pode-se verificar que, conforme , aproxima-se de por baixo, e conforme , aproxima-se de por cima.
Passo 5
Imagem: como
em todo o domínio, atinge o valor
(na raiz
) e cresce sem limite ao se aproximar de
, temos
Passo 6
Esboço do gráfico (descrevendo):
- Para
o ramo parte de quando (por baixo), decresce até chegar a . - Para
o ramo parte de em , passa por e cresce sem limite conforme . - Para
o ramo vem de em e decresce, aproximando-se de por cima quando .
Resposta
Domínio:
.
Imagem: .
Raiz: .
Intercepto em :
.
Quando ,
(assíntota vertical).
Quando ,
(assíntota horizontal
).
Imagem:
Raiz:
Intercepto em
Quando
Quando