Você passou o dia seguindo de perto dois oficiais de polícia. Você acabou de testemunhar os oficiais pararem um carro porque este ultrapassou um sinal vermelho. O motorista alega que a luz vermelha parecia verde, porque o carro estava se movendo em direção ao semáforo, o que deslocaria o comprimento de onda da luz observada. Você faz rapidamente uns cálculos para ver se o motorista está com a razão.
a) Qual a velocidade calculada?
b) O que você conclui?
a) Qual a velocidade calculada?
b) O que você conclui?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Calcular a velocidade necessária para que a luz de um semáforo que é realmente vermelha seja percebida como verde pelo motorista, por efeito Doppler ao ele mover-se em direção ao semáforo.
- (b) Tirar uma conclusão prática — o motorista tinha razão?
Informações relevantes (escolhas que preciso fazer para calcular):
- O enunciado não deu comprimentos de onda numéricos. Vou assumir valores típicos para as cores:
- comprimento de onda típico do vermelho:
(valor representativo do vermelho). - comprimento de onda típico do verde:
(valor representativo do verde).
- comprimento de onda típico do vermelho:
- Observação: as faixas visíveis têm algum intervalo; mais adiante vou também calcular um caso “mais favorável” (o menor deslocamento possível) usando
e para ver o menor possível que ainda converteria um vermelho para um verde.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho):
- Para luz (ondas eletromagnéticas) devemos usar a fórmula relativística do efeito Doppler. A razão: a velocidade buscada pode ser uma fração significativa da velocidade da luz, então a fórmula clássica (válida para som, por exemplo) não é correta.
- Variáveis e significado:
-
= frequência emitida pela fonte (semáforo). -
= frequência observada (pelo motorista em movimento). -
= comprimento de onda emitido pela fonte. -
= comprimento de onda observada. -
= velocidade relativa entre observador e fonte (positivo se se aproximam). -
= velocidade da luz no vácuo ( ). -
.
-
- Fórmulas úteis (relacionando frequência e comprimento de onda):
-
. - Como
, isso implica para comprimentos de onda: - Essas fórmulas dizem que, quando nos aproximamos (
), a frequência aumenta e o comprimento de onda diminui (deslocamento para o azul).
-
Passo 3
Isolando a velocidade a partir da relação entre comprimentos de onda:
- Defino a razão
entre o comprimento de onda emitido e o observado: - A partir de
temos - Elevando ao quadrado e resolvendo para
:
- Depois obtemos
.
Passo 4
Cálculo numérico usando
e
:
- Primeiro a razão
: - Quadrado:
- Calculo de
: - Velocidade absoluta:
- Em unidades mais intuitivas:
Passo 5
Cálculo “mais favorável” (menor velocidade possível usando limites das faixas:
,
):
-
. -
. -
. -
. - Mesmo no caso mais favorável,
, ou seja, cerca de .
Passo 6
Comparação com velocidades reais de um carro e conclusão física:
- Velocidade típica de um carro é da ordem de
(≈108 km/h), ou mesmo velocidades máximas de pista são algumas centenas de km/h, isto é, . - A razão
para um carro típico ( ) é . Isso dá um deslocamento fracionário da ordem de no comprimento de onda — absolutamente imperceptível e muitíssimo menor do que a largura de uma cor no espectro visível. - Conclusão prática: as velocidades necessárias para transformar um vermelho em verde por Doppler são frações apreciáveis da velocidade da luz (
a ), completamente inalcançáveis por automóveis. Portanto a alegação do motorista é fisicamente impossível.
Resposta
(a)
(usando
e
). No caso mais favorável (melhor escolha de extremos de cor)
.
(b) Conclusão: totalmente impossível — um carro não pode atingir essas velocidades; o motorista não podia ter visto o vermelho como verde por efeito Doppler.