Você passou o dia seguindo de perto dois oficiais de polícia. Você acabou de testemunhar os oficiais pararem um carro porque este ultrapassou um sinal vermelho. O motorista alega que a luz vermelha parecia verde, porque o carro estava se movendo em direção ao semáforo, o que deslocaria o comprimento de onda da luz observada. Você faz rapidamente uns cálculos para ver se o motorista está com a razão.
a) Qual a velocidade calculada?
b) O que você conclui?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Calcular a velocidade necessária para que a luz de um semáforo que é realmente vermelha seja percebida como verde pelo motorista, por efeito Doppler ao ele mover-se em direção ao semáforo.
  • (b) Tirar uma conclusão prática — o motorista tinha razão?
Informações relevantes (escolhas que preciso fazer para calcular):
  • O enunciado não deu comprimentos de onda numéricos. Vou assumir valores típicos para as cores:
    • comprimento de onda típico do vermelho: \lambda_{\text{vermelho}} = 700\\ \mathrm{nm} (valor representativo do vermelho).
    • comprimento de onda típico do verde: \lambda_{\text{verde}} = 530\\ \mathrm{nm} (valor representativo do verde).
  • Observação: as faixas visíveis têm algum intervalo; mais adiante vou também calcular um caso “mais favorável” (o menor deslocamento possível) usando \lambda_{\text{vermelho}}=620\\ \mathrm{nm} e \lambda_{\text{verde}}=560\\ \mathrm{nm} para ver o menor v possível que ainda converteria um vermelho para um verde.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho):
  • Para luz (ondas eletromagnéticas) devemos usar a fórmula relativística do efeito Doppler. A razão: a velocidade buscada pode ser uma fração significativa da velocidade da luz, então a fórmula clássica (válida para som, por exemplo) não é correta.
  • Variáveis e significado:
    • f = frequência emitida pela fonte (semáforo).
    • f' = frequência observada (pelo motorista em movimento).
    • \lambda = comprimento de onda emitido pela fonte.
    • \lambda' = comprimento de onda observada.
    • v = velocidade relativa entre observador e fonte (positivo se se aproximam).
    • c = velocidade da luz no vácuo ( c\approx 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}).
    • \beta = v/c.
  • Fórmulas úteis (relacionando frequência e comprimento de onda):
    • f'=f\sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}}.
    • Como f=c/\lambda, isso implica para comprimentos de onda: \lambda'=\lambda\sqrt{\dfrac{1-\beta}{1+\beta}}.
    • Essas fórmulas dizem que, quando nos aproximamos ( \beta>0), a frequência aumenta e o comprimento de onda diminui (deslocamento para o azul).

Passo 3

Isolando a velocidade a partir da relação entre comprimentos de onda:
  • Defino a razão r entre o comprimento de onda emitido e o observado: r=\dfrac{\lambda}{\lambda'}.
  • A partir de \lambda'=\lambda\sqrt{\dfrac{1-\beta}{1+\beta}} temos r=\sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}}.
  • Elevando ao quadrado e resolvendo para \beta: r^{2}=\dfrac{1+\beta}{1-\beta} \quad\Rightarrow\quad r^{2}(1-\beta)=1+\beta
r^{2}-r^{2}\beta=1+\beta \quad\Rightarrow\quad \beta(r^{2}+1)=r^{2}-1
\boxed{\beta=\dfrac{r^{2}-1}{r^{2}+1}}.
  • Depois obtemos v=\beta c.

Passo 4

Cálculo numérico usando \lambda_{\text{vermelho}}=700\\ \mathrm{nm} e \lambda_{\text{verde}}=530\\ \mathrm{nm}:
  • Primeiro a razão r: r=\dfrac{\lambda}{\lambda'}=\dfrac{700}{530}\approx 1{,}32075.
  • Quadrado: r^{2}\approx 1{,}32075^{2}\approx 1{,}74439.
  • Calculo de \beta: \beta=\dfrac{r^{2}-1}{r^{2}+1}=\dfrac{1{,}74439-1}{1{,}74439+1} =\dfrac{0{,}74439}{2{,}74439}\approx 0{,}27132.
  • Velocidade absoluta: v=\beta c \approx 0{,}27132\times3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} \approx 8{,}14\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
  • Em unidades mais intuitivas: v\approx 0{,}27\,c\approx 8{,}1\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}\approx 81{,}000\\ \mathrm{km/s}.

Passo 5

Cálculo “mais favorável” (menor velocidade possível usando limites das faixas: \lambda_{\text{vermelho}}=620\\ \mathrm{nm}, \lambda_{\text{verde}}=560\\ \mathrm{nm}):
  • r=\dfrac{620}{560}\approx 1{,}10714.
  • r^{2}\approx 1{,}226.
  • \beta=\dfrac{1{,}226-1}{1{,}226+1}=\dfrac{0{,}226}{2{,}226}\approx 0{,}1016.
  • v\approx 0{,}1016\times3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}\approx 3{,}05\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}\approx 30{,}500\\ \mathrm{km/s}.
  • Mesmo no caso mais favorável, v\approx 0{,}10\,c, ou seja, cerca de 30{,}000\\ \mathrm{km/s}.

Passo 6

Comparação com velocidades reais de um carro e conclusão física:
  • Velocidade típica de um carro é da ordem de 30\\ \mathrm{m/s} (≈108 km/h), ou mesmo velocidades máximas de pista são algumas centenas de km/h, isto é, \sim 10^{2}\\ \mathrm{km/h}\approx 10^{1}\\ \mathrm{m/s}.
  • A razão v/c para um carro típico ( v\approx 30\\ \mathrm{m/s}) é \approx 10^{-7}. Isso dá um deslocamento fracionário da ordem de 10^{-7} no comprimento de onda — absolutamente imperceptível e muitíssimo menor do que a largura de uma cor no espectro visível.
  • Conclusão prática: as velocidades necessárias para transformar um vermelho em verde por Doppler são frações apreciáveis da velocidade da luz ( \sim 0{,}1c a 0{,}3c), completamente inalcançáveis por automóveis. Portanto a alegação do motorista é fisicamente impossível.

Resposta

(a) v\approx 0{,}27\,c\approx 8{,}1\times10^{7}\\ \mathrm{m/s} (usando \lambda_{\text{vermelho}}=700\\ \mathrm{nm} e \lambda_{\text{verde}}=530\\ \mathrm{nm}). No caso mais favorável (melhor escolha de extremos de cor) v\approx 0{,}10\,c\approx 3{,}05\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
(b) Conclusão: totalmente impossível — um carro não pode atingir essas velocidades; o motorista não podia ter visto o vermelho como verde por efeito Doppler.

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