Exercício 6.11.8 Um avião se move em relação ao solo com velocidade de
. Seu comprimento próprio é de 50 m . Determine a medida desse comprimento para um observador no solo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Velocidade do avião em relação ao solo:
. - Comprimento próprio (medido em repouso em relação ao avião):
.
O que se pede:
- Determinar o comprimento do avião medido por um observador no solo (ou seja, o comprimento do avião no referencial em que ele se move com velocidade
).
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- O “comprimento próprio”
é o comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso (a bordo do avião). - Para um observador que vê o objeto se movendo com velocidade
o comprimento medido sofre contração relativística (efeito da relatividade restrita). A fórmula padrão é
- Aqui:
-
é o comprimento medido no referencial onde o objeto está em movimento. -
é o comprimento próprio (no referencial do objeto). -
é a velocidade relativa entre os referenciais. -
é a velocidade da luz no vácuo, que vamos tomar como .
-
Breve ideia de por que essa fórmula vale (passo-a-passo conceitual, sem demonstrar tudo):
- Para medir o comprimento no solo é preciso anotar as posições da dianteira e da traseira do avião ao mesmo instante no tempo do observador do solo. A transformação de Lorentz entre coordenadas mostra que as distâncias medidas simultaneamente num referencial correspondem a distâncias não-simultâneas no outro referencial, levando ao fator
. Não precisa decorar a dedução completa agora para a prova, mas é importante memorizar e entender que a contração só depende de .
Passo 3
Calcular a razão
e seu quadrado:
Passo 4
Avaliar o fator de contração
. Como
é muito pequeno, usamos a aproximação de binômio (ou Taylor) para
quando
:
com
. Assim
Passo 5
Aplicar a fórmula do comprimento contraído:
Fazendo a conta:
logo
Passo 6
Interpretação final e incentivo:
- A diferença entre o comprimento próprio e o medido no solo é
, ou seja, uma contração extremamente pequena (da ordem de ), desprezível em situações do dia a dia. - Em resumo: em velocidades muito abaixo da velocidade da luz a contração é praticamente nula, mas a fórmula acima é a que se usa sempre que precisar calcular esse efeito.