Exercício 6.11.8 Um avião se move em relação ao solo com velocidade de 600 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Seu comprimento próprio é de 50 m . Determine a medida desse comprimento para um observador no solo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Velocidade do avião em relação ao solo: v = 600\\ \mathrm{m/s}.
  • Comprimento próprio (medido em repouso em relação ao avião): L_0 = 50\\ \mathrm{m}.
O que se pede:
  • Determinar o comprimento do avião medido por um observador no solo (ou seja, o comprimento do avião no referencial em que ele se move com velocidade v).

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • O “comprimento próprio” \,L_0\, é o comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso (a bordo do avião).
  • Para um observador que vê o objeto se movendo com velocidade \,v\,, o comprimento medido \,L\, sofre contração relativística (efeito da relatividade restrita). A fórmula padrão é
L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}.
  • Aqui:
    • \,L\, é o comprimento medido no referencial onde o objeto está em movimento.
    • \,L_0\, é o comprimento próprio (no referencial do objeto).
    • \,v\, é a velocidade relativa entre os referenciais.
    • \,c\, é a velocidade da luz no vácuo, que vamos tomar como \,c = 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Breve ideia de por que essa fórmula vale (passo-a-passo conceitual, sem demonstrar tudo):
  • Para medir o comprimento no solo é preciso anotar as posições da dianteira e da traseira do avião ao mesmo instante no tempo do observador do solo. A transformação de Lorentz entre coordenadas mostra que as distâncias medidas simultaneamente num referencial correspondem a distâncias não-simultâneas no outro referencial, levando ao fator \sqrt{1-v^2/c^2}. Não precisa decorar a dedução completa agora para a prova, mas é importante memorizar e entender que a contração só depende de v/c.

Passo 3

Calcular a razão \,v/c\, e seu quadrado:
\frac{v}{c}=\frac{600}{3\times10^{8}} = 2\times10^{-6}.
\left(\frac{v}{c}\right)^{2} = \left(2\times10^{-6}\right)^{2} = 4\times10^{-12}.

Passo 4

Avaliar o fator de contração \sqrt{1 - v^2/c^2}. Como \left(v/c\right)^{2} é muito pequeno, usamos a aproximação de binômio (ou Taylor) para \sqrt{1-\varepsilon} quando \varepsilon\ll1:
\sqrt{1-\varepsilon}\approx 1-\frac{\varepsilon}{2},
com \varepsilon = \left(v/c\right)^{2} = 4\times10^{-12}. Assim
\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\approx 1-\frac{4\times10^{-12}}{2}=1-2\times10^{-12}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do comprimento contraído:
L = L_0\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} \approx 50\left(1-2\times10^{-12}\right).
Fazendo a conta:
50\cdot 2\times10^{-12} = 1\times10^{-10},
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L \approx 50 - 1\times10^{-10}\\ \mathrm{m} = 49,9999999999\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação final e incentivo:
  • A diferença entre o comprimento próprio e o medido no solo é \Delta L = L_0 - L \approx 1\times10^{-10}\\ \mathrm{m}, ou seja, uma contração extremamente pequena (da ordem de 10^{-10}\\ \mathrm{m}), desprezível em situações do dia a dia.
  • Em resumo: em velocidades muito abaixo da velocidade da luz a contração é praticamente nula, mas a fórmula acima é a que se usa sempre que precisar calcular esse efeito.

Resposta

49,9999999999\\ \mathrm{m}

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