Um avião com velocidade de 30 m/s aterriza num porta-aviões com uma aceleração de a=-3raizt. Qual o comprimento mínimo da pista? Justifique sua resposta mostrando todos os cálculos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um avião que está aterrissando num porta-aviões. A velocidade inicial do avião é de 30 , m/s e ele desacelera com uma aceleração de a = -3raizt, onde t é o tempo em segundos. Nosso objetivo é descobrir qual é o comprimento mínimo da pista necessária para que o avião consiga parar completamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações do movimento que relacionam velocidade, aceleração e posição.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a aceleração a(t) = -3raizt significa que o avião está diminuindo sua velocidade ao longo do tempo. A aceleração negativa indica uma desaceleração. Para encontrar a velocidade do avião em função do tempo, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
A fórmula para a velocidade é:
v(t) = v0 + integral0^t a(t) , dt
Onde:
  • v0 = 30 , m/s é a velocidade inicial
  • a(t) = -3raizt é a aceleração

Passo 3

Vamos calcular a integral da aceleração:
integral0^t -3raizt , dt = -3 integral0^t t^1/2 , dt = -3 [ 23 t^3/2 ]0^t = -2 t^3/2
Portanto, a velocidade em função do tempo é:
v(t) = 30 - 2 t^3/2

Passo 4

Agora, queremos saber em quanto tempo ( T) o avião vai parar, ou seja, quando a velocidade for zero:
v(T) = 0 = 30 - 2 T^3/2
Resolvendo para T:
2 T^3/2 = 30 T^3/2 = 15 T = (15)^2/3
Calculando o valor de T:
T approx 6.06 , segundos

Passo 5

Com o tempo de parada conhecido, vamos calcular a distância percorrida durante esse tempo, que será o comprimento mínimo da pista. Para isso, usamos a fórmula da posição:
s = integral0^T v(t) , dt = integral0^T (30 - 2 t^3/2) dt
Vamos calcular essa integral:
integral0^T 30 , dt = 30T integral0^T -2 t^3/2 , dt = -2 cdot 25 t^5/2 = -45 t^5/2
Portanto:
s = 30T - 45 T^5/2

Passo 6

Substituindo o valor de T approx 6.06 , segundos na equação de s:
s = 30 times 6.06 - 45 times (6.06)^5/2
Calculando cada parte:
30 times 6.06 = 181.8 , metros (6.06)^5/2 = (6.06)^2 times raiz6.06 approx 36.72 times 2.46 approx 90.19 , metros 45 times 90.19 approx 72.15 , metros
Então:
s = 181.8 - 72.15 = 109.65 , metros

Resposta

O comprimento mínimo da pista necessário para que o avião pare completamente é de aproximadamente 109,65 metros.

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