Um avião, à velocidade constante de 1200 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, voa horizontalmente a uma altitude de 3500 m e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 10000 m da estação.

Passo 1

O enunciado dá um avião voando horizontalmente com velocidade constante e passando diretamente sobre uma estação de radar. O que se pede: encontrar a taxa de variação, no instante em que a distância entre o avião e a estação é 10000\\ \text{m}, dessa distância sendo ela crescente.
Informações dadas (todas anotadas):
  • Velocidade horizontal do avião: 1200\\ \mathrm{km/h}.
  • Altitude constante do avião: 3500\\ \text{m}.
  • A distância (reta, em linha de visão) do avião até a estação no instante de interesse: 10000\\ \text{m}.
  • O avião passa diretamente sobre a estação (isso significa que no instante em que passa, a distância horizontal entre estação e avião é zero).
O que precisamos achar:
  • A taxa \dfrac{ds}{dt} no instante em que s=10000\\ \text{m}, onde s é a distância em linha reta estação ↔ avião.

Passo 2

Defino variáveis e a relação geométrica que vamos usar.
  • Seja x(t) a distância horizontal (no solo) entre a estação e a projeção do avião no solo. Quando o avião passa sobre a estação, x=0; depois disso x cresce com o tempo.
  • Seja h a altitude, que é constante: h=3500\\ \text{m}.
  • Seja s(t) a distância direta (slant distance) entre estação e avião.
Pelo triângulo retângulo formado, vale sempre a relação de Pitágoras:
s^2 = x^2 + h^2.
Essa é a equação que relaciona s e x e que vamos diferenciar em relação ao tempo para relacionar \dfrac{ds}{dt} e \dfrac{dx}{dt}.

Passo 3

Diferencio implicitamente a relação s^2 = x^2 + h^2 em relação ao tempo t. Lembre-se: h é constante, então sua derivada é zero. Usando a regra da cadeia para s^2 e x^2:
\frac{d}{dt}\big(s^2\big) = \frac{d}{dt}\big(x^2 + h^2\big)
2s\frac{ds}{dt} = 2x\frac{dx}{dt} + 0.
Simplificando:
\boxed{\frac{ds}{dt} = \frac{x}{s}\,\frac{dx}{dt}.}
Interpretação didática: a taxa de crescimento da distância direta s é proporcional à razão entre a componente horizontal x e a distância s, vezes a velocidade horizontal \dfrac{dx}{dt}. Quando o avião está quase sobre a estação ( x pequeno), a distância s muda mais devagar; quando x é grande, s muda quase tanto quanto x.

Passo 4

Precisamos de \dfrac{dx}{dt} em unidades compatíveis com metros e segundos, porque s está em metros. Converto a velocidade dada:
A velocidade horizontal é 1200\\ \mathrm{km/h}. Como 1\\ \mathrm{km}=1000\\ \text{m} e 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \text{s},
\frac{dx}{dt} = 1200\\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = \frac{1200\cdot 1000}{3600}\\ \frac{\text{m}}{\text{s}} = \frac{1200000}{3600}\\ \frac{\text{m}}{\text{s}} = \frac{1000}{3}\\ \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 333,33\\ \frac{\text{m}}{\text{s}}.
Preferi escrever a fração exata \dfrac{1000}{3}\\ \mathrm{m/s} e também dei a aproximação decimal.

Passo 5

Para usar a fórmula \dfrac{ds}{dt} = \dfrac{x}{s}\dfrac{dx}{dt} precisamos do valor de x quando s=10000\\ \text{m}. Usamos Pitágoras:
x = \sqrt{s^2 - h^2} = \sqrt{(10000)^2 - (3500)^2}.
Faço as contas:
(10000)^2 = 100\,000\,000, \qquad (3500)^2 = 12\,250\,000,
x = \sqrt{100\,000\,000 - 12\,250\,000} = \sqrt{87\,750\,000}.
Aproximação numérica (feito manualmente por aproximação):
x \approx 9\,367,5\\ \text{m}.
(Verificação rápida: 9\,367{,}5^2 \approx 87\,750\,056, muito próximo do valor exato dentro da precisão usada.)

Passo 6

Agora substituo na fórmula diferenciada:
\frac{ds}{dt} = \frac{x}{s}\cdot\frac{dx}{dt} = \frac{9\,367{,}5}{10\,000}\cdot\frac{1000}{3}\\ \frac{\text{m}}{\text{s}}.
Calculo passo a passo:
\frac{9\,367{,}5}{10\,000}=0{,}93675,
0{,}93675\cdot\frac{1000}{3} = 0{,}93675\cdot 333{,}333\ldots \approx 312{,}25\\ \frac{\text{m}}{\text{s}}.
Se preferir a unidade \mathrm{km/h}, calcula-se diretamente em km e h:
x= \sqrt{10^2 - 3{,}5^2}\\ \text{(km)}\approx 9{,}3675\\ \text{km},
\frac{ds}{dt} = \frac{9{,}3675}{10}\cdot 1200\\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \approx 1124{,}1\\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}},
e de fato 1124{,}1/3{,}6\approx 312{,}25\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Interpretação final breve e ânimo: o valor encontrado significa que, naquele instante em que o avião está a 10{,}0\\ \text{km} da estação (com 3{,}5\\ \text{km} de altitude), a distância em linha reta está aumentando a cerca de 312{,}25\\ \mathrm{m/s}. Tá complicado? Normal — geometria simples mais derivadas resolvem esse tipo de questão; você já entendeu a ideia: montar a relação geométrica e diferenciar.

Resposta

\displaystyle \frac{ds}{dt}\approx 312{,}25\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados