Um avião, à velocidade constante de
, voa horizontalmente a uma altitude de
e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a
da estação.
Passo 1
O enunciado dá um avião voando horizontalmente com velocidade constante e passando diretamente sobre uma estação de radar. O que se pede: encontrar a taxa de variação, no instante em que a distância entre o avião e a estação é
, dessa distância sendo ela crescente.
Informações dadas (todas anotadas):
- Velocidade horizontal do avião:
. - Altitude constante do avião:
. - A distância (reta, em linha de visão) do avião até a estação no instante de interesse:
. - O avião passa diretamente sobre a estação (isso significa que no instante em que passa, a distância horizontal entre estação e avião é zero).
O que precisamos achar:
- A taxa
no instante em que , onde é a distância em linha reta estação ↔ avião.
Passo 2
Defino variáveis e a relação geométrica que vamos usar.
- Seja
a distância horizontal (no solo) entre a estação e a projeção do avião no solo. Quando o avião passa sobre a estação, ; depois disso cresce com o tempo. - Seja
a altitude, que é constante: . - Seja
a distância direta (slant distance) entre estação e avião.
Pelo triângulo retângulo formado, vale sempre a relação de Pitágoras:
Essa é a equação que relaciona
e
e que vamos diferenciar em relação ao tempo para relacionar
e
.
Passo 3
Diferencio implicitamente a relação
em relação ao tempo
. Lembre-se:
é constante, então sua derivada é zero. Usando a regra da cadeia para
e
:
Simplificando:
Interpretação didática: a taxa de crescimento da distância direta
é proporcional à razão entre a componente horizontal
e a distância
, vezes a velocidade horizontal
. Quando o avião está quase sobre a estação (
pequeno), a distância
muda mais devagar; quando
é grande,
muda quase tanto quanto
.
Passo 4
Precisamos de
em unidades compatíveis com metros e segundos, porque
está em metros. Converto a velocidade dada:
A velocidade horizontal é
. Como
e
,
Preferi escrever a fração exata
e também dei a aproximação decimal.
Passo 5
Para usar a fórmula
precisamos do valor de
quando
. Usamos Pitágoras:
Faço as contas:
Aproximação numérica (feito manualmente por aproximação):
(Verificação rápida:
, muito próximo do valor exato dentro da precisão usada.)
Passo 6
Agora substituo na fórmula diferenciada:
Calculo passo a passo:
Se preferir a unidade
, calcula-se diretamente em km e h:
e de fato
.
Passo 7
Interpretação final breve e ânimo: o valor encontrado significa que, naquele instante em que o avião está a
da estação (com
de altitude), a distância em linha reta está aumentando a cerca de
. Tá complicado? Normal — geometria simples mais derivadas resolvem esse tipo de questão; você já entendeu a ideia: montar a relação geométrica e diferenciar.