Cada lado de um quadrado está crescendo a uma taxa de
. Com que taxa a área do quadrado estará aumentando quando a área do quadrado for
?
Passo 1
O enunciado pede: com que taxa a área de um quadrado está aumentando no instante em que a área vale
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Cada lado do quadrado está crescendo à taxa
. (Peguei esta taxa diretamente do enunciado.) - A área do quadrado no instante considerado é
. (Valor informado no enunciado.) - A incógnita que queremos encontrar é
nesse instante.
Passo 2
Definir as variáveis e a relação entre elas.\n
Seja o comprimento do lado do quadrado em metros no instante
. Seja
a área do quadrado em metros quadrados no instante
.\n
A relação geométrica entre área e lado é simples: a área é o quadrado do lado. Em fórmulas:
Seja
A relação geométrica entre área e lado é simples: a área é o quadrado do lado. Em fórmulas:
Aqui:
-
é a área em , -
é o comprimento do lado em .
Passo 3
Explicar como obter a taxa de variação da área em função da taxa de variação do lado (regra da cadeia/derivação implícita).\n
Queremos . Como
depende de
e
depende de
, usamos diferenciação em relação a
da igualdade
. Aplicando a derivada de
e a regra da cadeia:
Queremos
Explicando cada termo:
-
é a taxa de variação da área (o que queremos), -
é a derivada de em relação a , -
é a taxa de variação do lado fornecida no enunciado.
Passo 4
Determinar o comprimento do lado
quando a área vale
.\n
Sabemos que e que
. Então:
Sabemos que
Como
representa um comprimento, tomamos a raiz positiva:
Passo 5
Substituir os valores conhecidos na fórmula de
e calcular.\n
Usando
Usando
substituímos
e
:
Calcule passo a passo:
Portanto
Se desejar uma aproximação numérica, usando
:
Passo 6
Interpretação final e checagem de unidades.\n
A unidade de é
, coerente com produto de
em metros por
em
. O resultado significa que no instante em que a área é
, a área está aumentando a uma taxa de
(ou cerca de
).
A unidade de