Cada lado de um quadrado está crescendo a uma taxa de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Com que taxa a área do quadrado estará aumentando quando a área do quadrado for 20 m^{2} ?

Passo 1

O enunciado pede: com que taxa a área de um quadrado está aumentando no instante em que a área vale 20\\ \mathrm{m}^2.\n
Informações dadas:
  • Cada lado do quadrado está crescendo à taxa \dfrac{ds}{dt}=5\\ \mathrm{m/s}. (Peguei esta taxa diretamente do enunciado.)
  • A área do quadrado no instante considerado é A=20\\ \mathrm{m}^2. (Valor informado no enunciado.)
  • A incógnita que queremos encontrar é \dfrac{dA}{dt} nesse instante.

Passo 2

Definir as variáveis e a relação entre elas.\n
Seja s(t) o comprimento do lado do quadrado em metros no instante t. Seja A(t) a área do quadrado em metros quadrados no instante t.\n
A relação geométrica entre área e lado é simples: a área é o quadrado do lado. Em fórmulas:
A = s^{2}.
Aqui:
  • A é a área em \mathrm{m}^2,
  • s é o comprimento do lado em \mathrm{m}.

Passo 3

Explicar como obter a taxa de variação da área em função da taxa de variação do lado (regra da cadeia/derivação implícita).\n
Queremos \dfrac{dA}{dt}. Como A depende de s e s depende de t, usamos diferenciação em relação a t da igualdade A=s^{2}. Aplicando a derivada de s^{2} e a regra da cadeia:
\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}\big(s^{2}\big) = 2s\cdot\frac{ds}{dt}.
Explicando cada termo:
  • \dfrac{dA}{dt} é a taxa de variação da área (o que queremos),
  • 2s é a derivada de s^{2} em relação a s,
  • \dfrac{ds}{dt} é a taxa de variação do lado fornecida no enunciado.

Passo 4

Determinar o comprimento do lado s quando a área vale 20\\ \mathrm{m}^2.\n
Sabemos que A=s^{2} e que A=20. Então:
s^{2}=20 \quad\Rightarrow\quad s=\sqrt{20}.
Como s representa um comprimento, tomamos a raiz positiva:
s=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Substituir os valores conhecidos na fórmula de \dfrac{dA}{dt} e calcular.\n
Usando
\frac{dA}{dt}=2s\cdot\frac{ds}{dt},
substituímos s=2\sqrt{5} e \dfrac{ds}{dt}=5\\ \mathrm{m/s}:
\frac{dA}{dt}=2\cdot\big(2\sqrt{5}\big)\cdot 5.
Calcule passo a passo:
2\cdot\big(2\sqrt{5}\big)=4\sqrt{5},
4\sqrt{5}\cdot 5 =20\sqrt{5}.
Portanto
\frac{dA}{dt}=20\sqrt{5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Se desejar uma aproximação numérica, usando \sqrt{5}\approx 2{,}236:
20\sqrt{5}\approx 20\cdot 2{,}236 = 44{,}72\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 6

Interpretação final e checagem de unidades.\n
A unidade de \dfrac{dA}{dt} é \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, coerente com produto de s em metros por \dfrac{ds}{dt} em \mathrm{m/s}. O resultado significa que no instante em que a área é 20\\ \mathrm{m}^2, a área está aumentando a uma taxa de 20\sqrt{5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} (ou cerca de 44{,}72\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}).

Resposta

20\sqrt{5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} (aprox. 44{,}72\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s})

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