Encontre os máximos e mínimos locais aplicando o teste da segunda derivada quando possível:
y=\frac{16}{x}-\frac{x^{2}}{16}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os máximos e mínimos locais da função fornecida, aplicando o teste da segunda derivada quando possível.
Informações que temos:
  • A função dada é y=\dfrac{16}{x}-\dfrac{x^{2}}{16}.
  • Domínio: todos os reais com x\neq 0 (pois \dfrac{16}{x} não está definida em x=0).
  • O que se pede: localizar pontos críticos (onde y'=0 ou y' não existe dentro do domínio) e aplicar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou teste inconclusivo.

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira y' passo a passo e explicar as regras usadas.
Regra usada: regra do poder (power rule). Para x^{n} temos \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Também usaremos que \dfrac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}.
Escrevendo a função em potências:
y=16x^{-1}-\frac{1}{16}x^{2}.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\!\left(16x^{-1}\right)=16\cdot(-1)x^{-2}=-16x^{-2},
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{16}x^{2}\right)=-\frac{1}{16}\cdot 2x=-\frac{x}{8}.
Portanto
y'=-16x^{-2}-\frac{x}{8} \quad\text{ou}\quad y'=-\frac{16}{x^{2}}-\frac{x}{8}.
Para achar pontos críticos, resolvemos y'=0. Igualando a zero:
-\frac{16}{x^{2}}-\frac{x}{8}=0.
Multiplicamos ambos os lados por 8x^{2} (válido para x\neq0, que é o domínio):
8x^{2}\left(-\frac{16}{x^{2}}-\frac{x}{8}\right)=-128 - x^{3}=0.
Assim
-128-x^{3}=0\quad\Rightarrow\quad x^{3}=-128.
A raiz cúbica de -128 é
x=-\sqrt[3]{128}=-4\sqrt[3]{2}.
Observação: x=0 faria y' indefinida, mas x=0 não pertence ao domínio da função, então não é um ponto crítico válido dentro do domínio. Portanto o único ponto crítico da função é
x_{c}=-4\sqrt[3]{2}.

Passo 3

Agora aplicamos o teste da segunda derivada. Breve explicação do teste:
  • Se y''(x_{c})>0, o gráfico é côncavo para cima em x_{c} e x_{c} é mínimo local.
  • Se y''(x_{c})<0, o gráfico é côncavo para baixo em x_{c} e x_{c} é máximo local.
  • Se y''(x_{c})=0, o teste é inconclusivo.
Calculamos y'' derivando y':
y'=-16x^{-2}-\frac{x}{8}.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\left(-16x^{-2}\right)=-16\cdot(-2)x^{-3}=32x^{-3},
\frac{d}{dx}\left(-\frac{x}{8}\right)=-\frac{1}{8}.
Portanto
y''=32x^{-3}-\frac{1}{8}\quad\text{ou}\quad y''=\frac{32}{x^{3}}-\frac{1}{8}.

Passo 4

Avaliaremos y'' no ponto crítico x_{c}=-4\sqrt[3]{2}. Primeiro observe que
x_{c}^{3}=(-4\sqrt[3]{2})^{3}=-64\cdot 2=-128.
Substituindo em y'':
y''(x_{c})=\frac{32}{-128}-\frac{1}{8}=-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}.
Como y''(x_{c})=-\dfrac{3}{8}<0, pelo teste da segunda derivada conclui-se que x_{c} é um ponto de máximo local.

Passo 5

Calculemos o valor de y nesse ponto para apresentar a coordenada completa do máximo.
Temos
y\!\left(-4\sqrt[3]{2}\right)=\frac{16}{-4\sqrt[3]{2}}-\frac{\left(-4\sqrt[3]{2}\right)^{2}}{16}.
Calculemos termo a termo. Primeiro
\frac{16}{-4\sqrt[3]{2}}=-4\cdot 2^{-1/3}.
Segundo,
\left(-4\sqrt[3]{2}\right)^{2}=16\cdot 2^{2/3},
\frac{16\cdot 2^{2/3}}{16}=2^{2/3}.
Portanto
y\!\left(-4\sqrt[3]{2}\right)=-4\cdot 2^{-1/3}-2^{2/3}.
Fatorando 2^{-1/3}:
-4\cdot 2^{-1/3}-2^{2/3}=-4\cdot 2^{-1/3}-2\cdot 2^{-1/3}=-6\cdot 2^{-1/3}.
Multiplicando numerador e denominador por 2^{2/3} obtemos uma forma alternativa:
-6\cdot 2^{-1/3}=-3\cdot 2^{2/3}.
Assim o valor de y no ponto crítico é -3\cdot 2^{2/3}.

Passo 6

Verificação rápida do restante do domínio para certificar que não existem outros extremos locais:
  • Para x>0, nota-se que y'=-\dfrac{16}{x^{2}}-\dfrac{x}{8}<0 (ambos termos negativos), logo y é estritamente decrescente em (0,\infty) e não há extremos locais nesse ramo.
  • Para x<0, já encontramos o único ponto crítico x_{c} e o classificamos como máximo local. Não há outros pontos críticos em x<0.
Conclusão: existe um único extremo local, que é um máximo.

Resposta

Máximo local em x=-4\sqrt[3]{2} com valor y=-3\cdot 2^{2/3}.
Não há mínimos locais.

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