Encontre os máximos e mínimos locais aplicando o teste da segunda derivada quando possível:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os máximos e mínimos locais da função fornecida, aplicando o teste da segunda derivada quando possível.
Informações que temos:
- A função dada é
. - Domínio: todos os reais com
(pois não está definida em ). - O que se pede: localizar pontos críticos (onde
ou não existe dentro do domínio) e aplicar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou teste inconclusivo.
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira
passo a passo e explicar as regras usadas.
Regra usada: regra do poder (power rule). Para
temos
. Também usaremos que
.
Escrevendo a função em potências:
Derivando termo a termo:
Portanto
Para achar pontos críticos, resolvemos
. Igualando a zero:
Multiplicamos ambos os lados por
(válido para
, que é o domínio):
Assim
A raiz cúbica de
é
Observação:
faria
indefinida, mas
não pertence ao domínio da função, então não é um ponto crítico válido dentro do domínio. Portanto o único ponto crítico da função é
Passo 3
Agora aplicamos o teste da segunda derivada. Breve explicação do teste:
- Se
, o gráfico é côncavo para cima em e é mínimo local. - Se
, o gráfico é côncavo para baixo em e é máximo local. - Se
, o teste é inconclusivo.
Calculamos
derivando
:
Derivando termo a termo:
Portanto
Passo 4
Avaliaremos
no ponto crítico
. Primeiro observe que
Substituindo em
:
Como
, pelo teste da segunda derivada conclui-se que
é um ponto de máximo local.
Passo 5
Calculemos o valor de
nesse ponto para apresentar a coordenada completa do máximo.
Temos
Calculemos termo a termo. Primeiro
Segundo,
Portanto
Fatorando
:
Multiplicando numerador e denominador por
obtemos uma forma alternativa:
Assim o valor de
no ponto crítico é
.
Passo 6
Verificação rápida do restante do domínio para certificar que não existem outros extremos locais:
- Para
, nota-se que (ambos termos negativos), logo é estritamente decrescente em e não há extremos locais nesse ramo. - Para
, já encontramos o único ponto crítico e o classificamos como máximo local. Não há outros pontos críticos em .
Conclusão: existe um único extremo local, que é um máximo.
Resposta
Máximo local em
com valor
.
Não há mínimos locais.