Um tanque cilíndrico com raio de
está sendo enchido com água a uma taxa de
. Quão rápido está crescendo a altura da água?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- Raio do cilindro:
. - Taxa de variação do volume (água sendo colocada):
. - Pergunta: quão rápido a altura da água
está crescendo, ou seja, encontrar .
Passo 2
Fórmula que liga volume e altura num cilindro: o volume de um cilindro é dado por
Aqui
é o volume da água em
,
é o raio do cilindro em
(aqui constante) e
é a altura da coluna de água em
(variável). Essa fórmula vem de pensar no cilindro como base (um círculo de área
) vezes a altura
.
Passo 3
Como queremos taxas com respeito ao tempo, derivamos ambos os lados em relação ao tempo
. Como
é constante, sua derivada é zero, então ao diferenciar obtemos (aplicando a regra da cadeia de maneira direta):
Explicando a ideia: a derivada de
em relação a
é a área da base
vezes a velocidade com que a altura muda,
.
Passo 4
Isolamos
na expressão acima:
Isso é uma simples rearrumação algébrica: divide-se ambos os lados por
.
Passo 5
Agora substituímos os valores fornecidos:
e
. Então
Para ter uma ideia numérica,
e dividindo por
dá aproximadamente
.
Passo 6
Interpretação rápida: a altura sobe muito devagar porque a base do tanque é bem grande (área
). A taxa encontrada está em metros por segundo; se quiser converter para centímetros por minuto multiplica por
(cm/m) e por
(s/min).