Um tanque cilíndrico com raio de 20 m está sendo enchido com água a uma taxa de 3 m^{3} / s. Quão rápido está crescendo a altura da água?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Raio do cilindro: r=20\\ \mathrm{m}.
  • Taxa de variação do volume (água sendo colocada): \dfrac{dV}{dt}=3\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Pergunta: quão rápido a altura da água h está crescendo, ou seja, encontrar \dfrac{dh}{dt}.

Passo 2

Fórmula que liga volume e altura num cilindro: o volume de um cilindro é dado por
V=\pi r^{2} h.
Aqui V é o volume da água em \mathrm{m^3}, r é o raio do cilindro em \mathrm{m} (aqui constante) e h é a altura da coluna de água em \mathrm{m} (variável). Essa fórmula vem de pensar no cilindro como base (um círculo de área \pi r^2) vezes a altura h.

Passo 3

Como queremos taxas com respeito ao tempo, derivamos ambos os lados em relação ao tempo t. Como r é constante, sua derivada é zero, então ao diferenciar obtemos (aplicando a regra da cadeia de maneira direta):
\frac{dV}{dt}=\pi r^{2}\frac{dh}{dt}.
Explicando a ideia: a derivada de V em relação a t é a área da base \pi r^2 vezes a velocidade com que a altura muda, \dfrac{dh}{dt}.

Passo 4

Isolamos \dfrac{dh}{dt} na expressão acima:
\frac{dh}{dt}=\frac{1}{\pi r^{2}}\frac{dV}{dt}.
Isso é uma simples rearrumação algébrica: divide-se ambos os lados por \pi r^{2}.

Passo 5

Agora substituímos os valores fornecidos: \dfrac{dV}{dt}=3 e r=20. Então
\frac{dh}{dt}=\frac{3}{\pi (20)^{2}}=\frac{3}{400\pi}\\ \mathrm{m/s}.
Para ter uma ideia numérica, \dfrac{3}{400}=0,0075 e dividindo por \pi dá aproximadamente 0,00239\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação rápida: a altura sobe muito devagar porque a base do tanque é bem grande (área \pi\cdot20^{2}=400\pi\\ \mathrm{m^{2}}). A taxa encontrada está em metros por segundo; se quiser converter para centímetros por minuto multiplica por 100 (cm/m) e por 60 (s/min).

Resposta

\dfrac{3}{400\pi}\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}00239\\ \mathrm{m/s}

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