Um avião, a velocidade constante de
, voa horizontalmente a uma altitude de 2.000 metros, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 4.000 metros da estação.
Passo 1
O enunciado diz que um avião voa horizontalmente a 2.000 m de altitude com velocidade constante de 500 km/h e passa sobre uma estação de radar; queremos a taxa de variação da distância í(tilde)nea entre o avião e a estação quando essa distância vale 4.000 m. O conteúdo é de taxas relacionadas e usaremos a relação pitagórica entre a distância horizontal e a distância oblíqua.
Passo 2
Para trabalhar em unidades compatíveis, convertemos a velocidade horizontal de 500 km/h para metros por segundo. Sabendo que 1 km = 1.000 m e 1 h = 3.600 s, temos:
Passo 3
Chamamos de
a distância horizontal do avião até a estação e de
a distância oblíqua (que queremos). A altitude
é constante e vale 2.000 m, então pela geometria do triângulo retângulo:
Passo 4
Derivamos ambos os lados em relação ao tempo
, lembrando que
é constante (logo
):
Isolando
temos:
Passo 5
Quando
m, encontramos
pela relação pitagórica:
Passo 6
Substituindo em
:
Isso significa que naquele instante a distância oblíqua está aumentando a cerca de 120,3 m/s.
Resposta
A distância entre o avião e a estação está crescendo a aproximadamente 120,3 m/s quando essa distância é de 4.000 m.