Um avião, a velocidade constante de 500 km / h, voa horizontalmente a uma altitude de 2.000 metros, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 4.000 metros da estação.

Passo 1

O enunciado diz que um avião voa horizontalmente a 2.000 m de altitude com velocidade constante de 500 km/h e passa sobre uma estação de radar; queremos a taxa de variação da distância í(tilde)nea entre o avião e a estação quando essa distância vale 4.000 m. O conteúdo é de taxas relacionadas e usaremos a relação pitagórica entre a distância horizontal e a distância oblíqua.

Passo 2

Para trabalhar em unidades compatíveis, convertemos a velocidade horizontal de 500 km/h para metros por segundo. Sabendo que 1 km = 1.000 m e 1 h = 3.600 s, temos:
dxdt=500kmh=500cdot1000,m3600,sapprox138,89,ms

Passo 3

Chamamos de x(t) a distância horizontal do avião até a estação e de z(t) a distância oblíqua (que queremos). A altitude h é constante e vale 2.000 m, então pela geometria do triângulo retângulo:
z^2=x^2+h^2

Passo 4

Derivamos ambos os lados em relação ao tempo t, lembrando que h é constante (logo dh/dt=0):
2zdzdt=2xdxdt
Isolando dz/dt temos:
dzdt=xzdxdt

Passo 5

Quando z=4000 m, encontramos x pela relação pitagórica:
x=raizz^2-h^2=raiz(4000)^2-(2000)^2=raiz16times10^6-4times10^6=raiz12times10^6approx3464,1,m

Passo 6

Substituindo em dz/dt=tfracxz,dx/dt:
dzdt=3464,14000times138,89approx120,3,ms
Isso significa que naquele instante a distância oblíqua está aumentando a cerca de 120,3 m/s.

Resposta

A distância entre o avião e a estação está crescendo a aproximadamente 120,3 m/s quando essa distância é de 4.000 m.

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