Seja
. Mostre que:
O item a) deveria implicar que o campo é conservativo, o que difere neste caso?
O item a) deveria implicar que o campo é conservativo, o que difere neste caso?
Passo 1
O enunciado define o campo vetorial F(x,y)=
no domínio
e pergunta por que, mesmo tendo rotacional nulo, ele não é conservativo. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial (rotacional, conexidade do domínio e Poincaré).
Passo 2
Primeiro calculamos o rotacional de F para ver se ele é localmente irrotacional. Chamando
e
, temos:
Passo 3
Logo o rotacional é zero:
Passo 4
O teorema de Poincaré (ou o critério de campos conservativos em
) diz que se um campo de classe
tem rotacional zero em um domínio aberto simplesmente conectado, então ele é conservativo. Aqui o domínio de F é
, que não é simplesmente conectado (tem um “furo” na origem).
Passo 5
De fato, um laço fechando em torno da origem (por exemplo, a circunferência unidade) faz a integral de linha de F dar
, não zero, mostrando que não existe potencial global. Portanto, falta a condição de domínio simplesmente conectado, e é por isso que F não é conservativo apesar de ter rotacional nulo.
Resposta
O domínio de F não é simplesmente conectado (está faltando o ponto (0,0)), de modo que o rotacional nulo não garante conservatividade global.