(2,0) Seja F(x, y)=-y i+x jx^2+y^2. Mostre que:
O item a) deveria implicar que o campo é conservativo, o que difere neste caso?

Passo 1

O enunciado define o campo vetorial F(x,y)= -y,i+x,jx^2+y^2 no domínio R^2setminus(0,0) e pergunta por que, mesmo tendo rotacional nulo, ele não é conservativo. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial (rotacional, conexidade do domínio e Poincaré).

Passo 2

Primeiro calculamos o rotacional de F para ver se ele é localmente irrotacional. Chamando F1=-y/(x^2+y^2) e F2=x/(x^2+y^2), temos:
partial F2partial x=(x^2+y^2)-2x^2(x^2+y^2)^2=y^2-x^2(x^2+y^2)^2,
partial F1partial y=-(x^2+y^2)+2y^2(x^2+y^2)^2=y^2-x^2(x^2+y^2)^2

Passo 3

Logo o rotacional é zero:
nablatimes F=partial F2partial x-partial F1partial y=0

Passo 4

O teorema de Poincaré (ou o critério de campos conservativos em R^2) diz que se um campo de classe C^1 tem rotacional zero em um domínio aberto simplesmente conectado, então ele é conservativo. Aqui o domínio de F é R^2setminus0, que não é simplesmente conectado (tem um “furo” na origem).

Passo 5

De fato, um laço fechando em torno da origem (por exemplo, a circunferência unidade) faz a integral de linha de F dar 2pi, não zero, mostrando que não existe potencial global. Portanto, falta a condição de domínio simplesmente conectado, e é por isso que F não é conservativo apesar de ter rotacional nulo.

Resposta

O domínio de F não é simplesmente conectado (está faltando o ponto (0,0)), de modo que o rotacional nulo não garante conservatividade global.

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