Um homem com 1,80 metros de altura anda afastando-se do poste com uma velocidade de 3 metros por segundo de acordo com uma trajetória reta. Quando o homem estiver a 40 metros do poste, determine em relação ao poste:
A luz de uma rua é colocada no topo de um poste de 15 metros.
(a) a taxa de variação do comprimento de sua sombra;

Passo 1

Resumo do problema e teoria envolvida: temos um poste de 15 m de altura e um homem de 1,80 m que se afasta do poste com velocidade constante de 3 m/s. A sombra do homem se forma pelo encontro dos raios de luz do topo do poste, então vamos usar semelhança de triângulos para relacionar a distância do homem ao poste e o comprimento da sombra.

Passo 2

Relação entre distância e sombra pela semelhança de triângulos: seja x(t) a distância do homem ao poste e y(t) o comprimento da sombra. Pelos triângulos semelhantes,
15x+y=1,8y

Passo 3

Multiplicando e isolando y em função de x, temos
15y=1,8(x+y)
15y=1,8x+1,8y
13,2,y=1,8,x
y=1,813,2,x=322,x.

Passo 4

Derivação temporal e substituição: derivando ambos os lados em relação ao tempo t,
dydt=322dxdt

Passo 5

Como dx/dt=3 m/s, obtemos
dydt=322times3=922 m/s

Resposta

922 m/s

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