Determine todas as retas que passam pelo ponto P=(2,3) e que são tangentes a circunferência de equação x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as retas que passam por P=(2,3) e são tangentes à circunferência x²+y²=4. Essa é uma aplicação de retas tangentes a círculos: vamos usar a condição de que a distância do centro O=(0,0) à reta deve ser igual ao raio r=2.

Passo 2

Como primeira família de retas, consideramos as não‐verticais passando por P. A equação geral em função do coeficiente angular m é y–3 = m(x–2). Logo, podemos escrever
y = mx + b,
onde o coeficiente linear é
b = 3 - 2m

Passo 3

Em seguida, usamos a condição de tangência: a distância do centro O=(0,0) à reta Ax+By+C=0 deve ser r. No nosso caso, reescrevemos y=mx+b como
m x - y + b = 0,
então A=m, B=–1 e C=b. A condição é
|Ax+By+C|raizA^2+B^2=rLongrightarrow |b|raizm^2+1=2

Passo 4

Elevando ao quadrado para eliminar o valor absoluto, vem
(3 - 2m)^2m^2+1 = 4

Passo 5

Desenvolvendo e simplificando:
9 - 12m + 4m^2 = 4m^2 + 4 Longrightarrow 9 - 12m - 4 = 0 Longrightarrow 5 - 12m = 0 Longrightarrow m = 512

Passo 6

O valor de b fica
b = 3 - 2cdot512 = 3 - 56 = 136

Passo 7

Portanto uma das retas é
y = 512x + 136

Passo 8

Falta tratar a reta vertical. Se x=2, ela passa por P e a distância do centro (0,0) até x=2 é |2|=2, igual ao raio. Logo é tangente.
Obtivemos assim as duas retas que satisfazem o enunciado.

Resposta

As retas são y = tfrac512x + tfrac136 e x = 2.

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