Determine todas as retas que passam pelo ponto
e que são tangentes a circunferência de equação
.
Passo 1
O enunciado pede para achar todas as retas que passam por P=(2,3) e são tangentes à circunferência x²+y²=4. Essa é uma aplicação de retas tangentes a círculos: vamos usar a condição de que a distância do centro O=(0,0) à reta deve ser igual ao raio r=2.
Passo 2
Como primeira família de retas, consideramos as não‐verticais passando por P. A equação geral em função do coeficiente angular m é y–3 = m(x–2). Logo, podemos escrever
onde o coeficiente linear é
Passo 3
Em seguida, usamos a condição de tangência: a distância do centro O=(0,0) à reta Ax+By+C=0 deve ser r. No nosso caso, reescrevemos y=mx+b como
então A=m, B=–1 e C=b. A condição é
Passo 4
Elevando ao quadrado para eliminar o valor absoluto, vem
Passo 5
Desenvolvendo e simplificando:
Passo 6
O valor de b fica
Passo 7
Portanto uma das retas é
Passo 8
Falta tratar a reta vertical. Se x=2, ela passa por P e a distância do centro (0,0) até x=2 é |2|=2, igual ao raio. Logo é tangente.
Obtivemos assim as duas retas que satisfazem o enunciado.
Obtivemos assim as duas retas que satisfazem o enunciado.
Resposta
As retas são
e
.