35.27 •• Uma película uniforme de
com 1.036 nm de espessura e índice de refração de 2,62 é espalhada uniformemente sobre a superfície de um vidro crown com índice de refração de 1,52 . Uma luz de comprimento de onda de
incide perpendicularmente sobre uma película de ar. Você deseja aumentar a espessura dessa película de modo que a luz refletida seja cancelada. (a) Qual é a espessura mínima de
que você precisa adicionar para que a luz refletida sofra cancelamento, como desejado? (b) Depois que você executa o ajuste do item (a), qual é a diferença de caminho entre a luz refletida no topo da película e a luz que é cancelada depois de passar pela película? Expresse sua resposta em (i) nanômetros e (ii) comprimentos de onda da luz na película de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
- Dados:
- índice de refração do ar:
. - índice de refração da película de
: . - índice de refração do vidro (substrato):
. - comprimento de onda da luz no vácuo (incidência):
. - espessura inicial da película:
.
- índice de refração do ar:
- O enunciado pede:
- (a) a espessura mínima de
que precisa ser adicionada para que a luz refletida seja cancelada (ou seja, ). - (b) após esse ajuste, a diferença de caminho entre a luz refletida no topo da película e a luz que foi refletida depois de atravessar a película (i) em nanômetros e (ii) expressa em comprimentos de onda da luz na película de
.
- (a) a espessura mínima de
Passo 2
Explicar as ideias físicas necessárias (sem pular etapas).
- Interferência em filmes finos: há duas reflexões principais que se combinam:
- reflexão na face superior ar/
(chamarei de “reflexão 1”); - reflexão na face inferior
/vidro (chamarei de “reflexão 2”), que envolve passagem pela película, reflexão na interface inferior e volta pela película.
- reflexão na face superior ar/
- Cada reflexão pode sofrer uma mudança de fase de
(meia onda) dependendo da relação dos índices de refração. Regra prática: - ao refletir de um meio de índice menor para um meio de índice maior, a onda refletida recebe uma mudança de fase de
. - ao refletir de meio de índice maior para menor, não há mudança de fase de reflexão (fase 0).
- ao refletir de um meio de índice menor para um meio de índice maior, a onda refletida recebe uma mudança de fase de
- Aplicando ao nosso caso:
- na face superior:
para (menor → maior) ⇒ reflexão 1 recebe . - na face inferior: dentro da película
atingindo o substrato (maior → menor) ⇒ reflexão 2 não recebe mudança de fase.
- na face superior:
- Portanto existe uma diferença de fase fixa de
entre as reflexões devido às condições de reflexão nas superfícies (antes de contar o caminho extra).
Passo 3
Expressar o termo de diferença de fase devido ao caminho extra e montar a condição para cancelamento.
- A contribuição de fase produzida pelo caminho extra percorrido pela luz que entra na película e volta é:
onde
é a espessura final da película e
é o comprimento de onda dentro da película.
- Como
, substituindo obtemos
- A diferença total de fase entre as duas ondas refletidas é a soma da fase do caminho com a fase de reflexão (aqui, apenas a reflexão superior contribui com
):
- Para cancelamento (interferência destrutiva) entre as duas reflexões precisamos que as ondas fiquem defasadas por um múltiplo ímpar de
, ou seja
- Substituindo:
e simplificando obtém-se
- Daí
Passo 4
Escolher o menor acréscimo não nulo e interpretar.
- A solução com
dá (trivial, sem película adicional) — mas aqui já existe uma película de espessura e queremos aumentar a espessura até a menor espessura final não nula que cause cancelamento. - O menor
não nulo corresponde a :
- Substituindo os valores numéricos:
Vamos calcular passo a passo:
Arredondando adequadamente, tomarei
Passo 5
Calcular a espessura mínima a ser adicionada
.
- Por definição,
- Substituindo:
Arredondando com consistência de algarismos sigificativos:
Passo 6
Calcular a diferença de caminho pedida em (b) — dar ambas as interpretações úteis e converter para comprimentos de onda na película.
- A diferença geométrica de caminho (distância extra percorrida dentro da película pelo raio que entra e volta) é
. Calculando:
Arredondando:
- O comprimento de onda da luz dentro da película é
ou seja
.
- Portanto a diferença geométrica
coincide numericamente com uma única onda dentro da película:
- (Observação útil) A diferença de caminho óptico (índice vezes distância) é
, e isso vale:
o que mostra que a fase de caminho corresponde a uma volta completa em termos de comprimento de onda no vácuo, e juntamente com a diferença de fase por reflexão (
) produz interferência destrutiva.
Passo 7
Resumo final compacto (valores redondos apropriados) e um incentivo.
- Espessura final alvo
. - Assim precisa adicionar
. - A diferença de caminho geométrica entre a reflexão no topo e a reflexão que atravessa a película e volta é
, que corresponde a exatamente comprimento de onda da luz dentro da película de . - Bom trabalho: é muita conta, mas a ideia chave é lembrar das mudanças de fase nas reflexões e que, como só uma reflexão sofre
, a condição ficou . Você já consegue aplicar isso para outros filmes agora — força na prova!
Resposta
(a)
(b)(i)
(b)(ii)
(b)(i)
(b)(ii)