35.27 •• Uma película uniforme de \mathrm{TiO}_{2} com 1.036 nm de espessura e índice de refração de 2,62 é espalhada uniformemente sobre a superfície de um vidro crown com índice de refração de 1,52 . Uma luz de comprimento de onda de 520,0 \mathrm{~nm} incide perpendicularmente sobre uma película de ar. Você deseja aumentar a espessura dessa película de modo que a luz refletida seja cancelada. (a) Qual é a espessura mínima de \mathrm{TiO}_{2} que você precisa adicionar para que a luz refletida sofra cancelamento, como desejado? (b) Depois que você executa o ajuste do item (a), qual é a diferença de caminho entre a luz refletida no topo da película e a luz que é cancelada depois de passar pela película? Expresse sua resposta em (i) nanômetros e (ii) comprimentos de onda da luz na película de \mathrm{TiO}_{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
  • Dados:
    • índice de refração do ar: n_{\text{ar}}=1,00.
    • índice de refração da película de \mathrm{TiO}_2: n=2,62.
    • índice de refração do vidro (substrato): n_{\text{sub}}=1,52.
    • comprimento de onda da luz no vácuo (incidência): \lambda_0=520,0\\ \text{nm}.
    • espessura inicial da película: t_0=1,036\\ \text{nm}.
  • O enunciado pede:
    • (a) a espessura mínima de \mathrm{TiO}_2 que precisa ser adicionada para que a luz refletida seja cancelada (ou seja, \Delta t = t_{\text{final}}-t_0).
    • (b) após esse ajuste, a diferença de caminho entre a luz refletida no topo da película e a luz que foi refletida depois de atravessar a película (i) em nanômetros e (ii) expressa em comprimentos de onda da luz na película de \mathrm{TiO}_2.

Passo 2

Explicar as ideias físicas necessárias (sem pular etapas).
  • Interferência em filmes finos: há duas reflexões principais que se combinam:
    1. reflexão na face superior ar/ \mathrm{TiO}_2 (chamarei de “reflexão 1”);
    2. reflexão na face inferior \mathrm{TiO}_2/vidro (chamarei de “reflexão 2”), que envolve passagem pela película, reflexão na interface inferior e volta pela película.
  • Cada reflexão pode sofrer uma mudança de fase de \pi (meia onda) dependendo da relação dos índices de refração. Regra prática:
    • ao refletir de um meio de índice menor para um meio de índice maior, a onda refletida recebe uma mudança de fase de \pi.
    • ao refletir de meio de índice maior para menor, não há mudança de fase de reflexão (fase 0).
  • Aplicando ao nosso caso:
    • na face superior: n_{\text{ar}}=1{,}00 para n=2{,}62 (menor → maior) ⇒ reflexão 1 recebe \pi.
    • na face inferior: dentro da película n=2{,}62 atingindo o substrato n_{\text{sub}}=1{,}52 (maior → menor) ⇒ reflexão 2 não recebe mudança de fase.
  • Portanto existe uma diferença de fase fixa de \pi entre as reflexões devido às condições de reflexão nas superfícies (antes de contar o caminho extra).

Passo 3

Expressar o termo de diferença de fase devido ao caminho extra e montar a condição para cancelamento.
  • A contribuição de fase produzida pelo caminho extra percorrido pela luz que entra na película e volta é:
\Delta\phi_{\text{caminho}} = \frac{2\pi}{\lambda_{\text{na\\ película}}}\times (2t),í
onde t é a espessura final da película e \lambda_{\text{na\\ película}}í é o comprimento de onda dentro da película.
  • Como \lambda_{\text{na\\ película}}=\dfrac{\lambda_0}{n}í, substituindo obtemos
\Delta\phi_{\text{caminho}} = \frac{2\pi}{\lambda_0/n}\,(2t)=\frac{4\pi n t}{\lambda_0}.
  • A diferença total de fase entre as duas ondas refletidas é a soma da fase do caminho com a fase de reflexão (aqui, apenas a reflexão superior contribui com \pi):
\Delta\phi_{\text{total}} = \frac{4\pi n t}{\lambda_0} + \pi.
  • Para cancelamento (interferência destrutiva) entre as duas reflexões precisamos que as ondas fiquem defasadas por um múltiplo ímpar de \pi, ou seja
\Delta\phi_{\text{total}}=(2m+1)\pi,\quad m=0,1,2,\dots
  • Substituindo:
\frac{4\pi n t}{\lambda_0} + \pi = (2m+1)\pi
e simplificando obtém-se
\frac{4\pi n t}{\lambda_0}=2m\pi \quad\Longrightarrow\quad \frac{2 n t}{\lambda_0}=m.
  • Daí
t = \frac{m\,\lambda_0}{2n}.

Passo 4

Escolher o menor acréscimo não nulo e interpretar.
  • A solução com m=0 t=0 (trivial, sem película adicional) — mas aqui já existe uma película de espessura t_0 e queremos aumentar a espessura até a menor espessura final não nula que cause cancelamento.
  • O menor t não nulo corresponde a m=1:
t_{\text{final}}=\frac{\lambda_0}{2n}.
  • Substituindo os valores numéricos:
t_{\text{final}}=\frac{520{,}0\\ \text{nm}}{2\cdot 2{,}62}.
Vamos calcular passo a passo:
2\cdot 2{,}62 = 5{,}24,
t_{\text{final}}=\frac{520{,}0}{5{,}24}\\ \text{nm}\approx 99{,}236641\\ \text{nm}.
Arredondando adequadamente, tomarei t_{\text{final}}\approx 99{,}24\\ \text{nm}.

Passo 5

Calcular a espessura mínima a ser adicionada \Delta t.
  • Por definição,
\Delta t = t_{\text{final}}-t_0.
  • Substituindo:
\Delta t \approx 99{,}236641\\ \text{nm} - 1{,}036\\ \text{nm} = 98{,}200641\\ \text{nm}.
Arredondando com consistência de algarismos sigificativos:
\Delta t \approx 98{,}20\\ \text{nm}.

Passo 6

Calcular a diferença de caminho pedida em (b) — dar ambas as interpretações úteis e converter para comprimentos de onda na película.
  • A diferença geométrica de caminho (distância extra percorrida dentro da película pelo raio que entra e volta) é 2t_{\text{final}}. Calculando:
2t_{\text{final}} \approx 2\times 99{,}236641\\ \text{nm} = 198{,}473282\\ \text{nm}.
Arredondando:
2t_{\text{final}}\approx 198{,}47\\ \text{nm}.
  • O comprimento de onda da luz dentro da película é
\lambda_{\text{film}}=\frac{\lambda_0}{n}=\frac{520{,}0\\ \text{nm}}{2{,}62}\approx 198{,}473282\\ \text{nm},
ou seja \lambda_{\text{film}}\approx 198{,}47\\ \text{nm}.
  • Portanto a diferença geométrica 2t_{\text{final}} coincide numericamente com uma única onda dentro da película:
\frac{2t_{\text{final}}}{\lambda_{\text{film}}} = 1.
  • (Observação útil) A diferença de caminho óptico (índice vezes distância) é 2n t_{\text{final}}, e isso vale:
2n t_{\text{final}} = 2\cdot 2{,}62\cdot 99{,}236641\\ \text{nm} \approx 520{,}0\\ \text{nm} = \lambda_0,
o que mostra que a fase de caminho corresponde a uma volta completa em termos de comprimento de onda no vácuo, e juntamente com a diferença de fase por reflexão ( \pi) produz interferência destrutiva.

Passo 7

Resumo final compacto (valores redondos apropriados) e um incentivo.
  • Espessura final alvo t_{\text{final}}\approx 99{,}24\\ \text{nm}.
  • Assim precisa adicionar \Delta t\approx 98{,}20\\ \text{nm}.
  • A diferença de caminho geométrica entre a reflexão no topo e a reflexão que atravessa a película e volta é 2t_{\text{final}}\approx 198{,}47\\ \text{nm}, que corresponde a exatamente 1 comprimento de onda da luz dentro da película de \mathrm{TiO}_2.
  • Bom trabalho: é muita conta, mas a ideia chave é lembrar das mudanças de fase nas reflexões e que, como só uma reflexão sofre \pi, a condição ficou t=\lambda_0/(2n). Você já consegue aplicar isso para outros filmes agora — força na prova!

Resposta

(a) \Delta t \approx 98{,}20\\ \text{nm}
(b)(i) \Delta\text{caminho}=2t_{\text{final}}\approx 198{,}47\\ \text{nm}
(b)(ii) \Delta\text{caminho}=1\\ \lambda_{\text{na\\ película\\ de\\ TiO}_2}í

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