A luz de um laser com comprimento de onda de 510 nm está atravessando o ar e brilha com incidência normal na extremidade plana de uma barra plástica transparente que possui n=1,30. A extremidade da barra possui um revestimento fino de um material transparente, com índice de refração de 1,65 . Qual é a espessura mínima (diferente de zero) do revestimento
para a qual a transmissão na barra é minimizada?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • Comprimento de onda no ar: \lambda_0 = 510\\ \text{nm}.
  • Índice de refração do ar: n_0 = 1{,}00.
  • Índice do revestimento (filme fino): n_1 = 1{,}65.
  • Índice da barra plástica (substrato): n_2 = 1{,}30.
  • Incidência: normal à superfície.
  • Pergunta: qual é a espessura mínima (diferente de zero) do revestimento para a qual a transmissão na barra é minimizada?

Passo 2

Ideia física qualitativa (sem fórmulas ainda):
Quando a lâmina fina está presente, parte da luz é refletida na face ar→revestimento e parte é transmitida e depois refletida na face revestimento→substrato. Essas duas ondas refletidas se recombinam; dependendo da diferença de fase entre elas elas podem interferir construtiva ou destrutivamente. Se as reflexões interferirem construtivamente, a intensidade refletida é máxima e, pela conservação de energia (assumindo material sem absorção), a transmissão é mínima. Então queremos a condição de interferência que faça as ondas refletidas somarem com fase (condição de máxima reflexão).

Passo 3

Regras de fase ao refletir e caminho óptico dentro do filme:
  • Quando uma onda é refletida numa interface vindo de um meio de índice menor para um meio de índice maior, a reflexão sofre uma mudança de fase de \pi (ou seja, 180°).
  • Quando a reflexão ocorre de um meio de índice maior para um meio de índice menor, não há mudança de fase adicional.
    Aplicando aos nossos índices:
  • Reflexão na face ar \to revestimento: \;n_0=1{,}00 \to n_1=1{,}65 → mudança de fase \pi.
  • Reflexão na face revestimento \to substrato: \;n_1=1{,}65 \to n_2=1{,}30 → sem mudança de fase.
    Além disso, a onda que reflete na face interna percorre ida e volta dentro do filme, acumulando uma fase extra igual a 2 k_1 d, onde k_1 é o número de onda no filme e d é a espessura do revestimento. O número de onda no filme é
k_1=\frac{2\pi n_1}{\lambda_0},
pois \lambda_0 é o comprimento de onda no vácuo/ar e o comprimento de onda dentro do filme é \lambda_1=\dfrac{\lambda_0}{n_1}.

Passo 4

Expressão da diferença de fase entre as duas reflexões:
Chamar de \phi_{\text{frente}} a fase associada à reflexão na frente (ar→revestimento) e de \phi_{\text{trás}}á a da reflexão na parte de trás (revestimento→substrato). A diferença de fase entre a onda refletida na face de trás (que percorre o caminho extra) e a onda refletida diretamente na face da frente é
\Delta\varphi = 2 k_1 d + \phi_{\text{trás}} - \phi_{\text{frente}}.á
Sabendo que \phi_{\text{frente}}=\pi e \phi_{\text{trás}}=0á, obtemos
\Delta\varphi = 2 k_1 d - \pi.

Passo 5

Condição para máxima reflexão (portanto mínima transmissão):
Máxima reflexão ocorre quando as ondas refletidas saem em fase, isto é quando a diferença de fase é um múltiplo inteiro de 2\pi:
\Delta\varphi = 2 m\pi,\qquad m\in\mathbb{Z}.
Substituindo \Delta\varphi:
2 k_1 d - \pi = 2 m\pi.
Isolando d, usando k_1=\dfrac{2\pi n_1}{\lambda_0},
2\left(\frac{2\pi n_1}{\lambda_0}\right)d = (2m+1)\pi
\Rightarrow d = \frac{(2m+1)\pi}{2\cdot \dfrac{2\pi n_1}{\lambda_0}} = \frac{(2m+1)\lambda_0}{4 n_1}.
Portanto as espessuras que maximizam a reflexão (minimizam a transmissão) são
d = \frac{(2m+1)\lambda_0}{4 n_1},\qquad m=0,1,2,\dots
A menor espessura diferente de zero corresponde a m=0, ou seja d=\dfrac{\lambda_0}{4 n_1}. Isso é o clássico filme de espessura “um quarto de onda” dentro do material.

Passo 6

Cálculo numérico da menor espessura não nula usando m=0:
d = \frac{\lambda_0}{4 n_1} = \frac{510\\ \text{nm}}{4\cdot 1{,}65}.
Calcule o denominador: 4\cdot 1{,}65 = 6{,}6. Então
d = \frac{510}{6{,}6}\\ \text{nm} \approx 77{,}2727\ldots\\ \text{nm}.
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
d \approx 77{,}3\\ \text{nm}.

Passo 7

Checagem rápida e observações finais (tom amigável):
  • A dedução usou incidência normal, filmagem sem absorção e coerência da luz — condições típicas para esse tipo de problema de filmes finos.
  • A resposta é um quarto de comprimento de onda dentro do material do revestimento: \lambda_1/4 com \lambda_1=\lambda_0/n_1.
  • Essa espessura maximiza a reflexão porque as duas reflexões se somam em fase (uma teve inversão de \pi, a outra não), cancelando a transmissão.

Resposta

d = 77{,}3\\ \text{nm}

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