Questão 28: Ar entra em um bocal convergente-divergente de um túnel de vento supersônico com:
  • Pressão de estagnação: p_{0}=1 \mathrm{MPa}
  • Temperatura de estagnação: T_{0}=300 \mathrm{~K}
  • Velocidade inicial desprezível
Uma onda de choque normal ocorre no plano de saída, onde: M a_{2}=2,4
Determine:
a) Pressão estática após o choque p_{3};
b) Temperatura estática após o choque T_{3};
c) Número de Mach após o choque M a_{3}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados:
p_{0}=1\,\mathrm{MPa}=1{,}0\times10^{6}\,\mathrm{Pa}, \qquad T_{0}=300\,\mathrm{K}, \qquad Ma_{2}=2{,}4.
Pressupostos (implícitos): ar perfeito (gás perfeito caloricamente perfeito) com razão de calor específico \gamma=1{,}4. Velocidade inicial desprezível significa que os p_{0} e T_{0} dados são as condições de estagnação do fluxo antes do bocal.
O enunciado pergunta:
a) a pressão estática após o choque normal, p_{3};
b) a temperatura estática após o choque, T_{3};
c) o número de Mach após o choque, Ma_{3}.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vamos usar (apresento e explico cada uma):
  1. Relação isentrópica entre pressão de estagnação p_{0} e pressão estática em uma região isentrópica com número de Mach Ma:
\frac{p_{0}}{p}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}Ma^{2}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}.
Explicação: essa fórmula vem das relações isentrópicas de um gás perfeito. Aqui p_{0} é a pressão total (stagnation), p é a pressão estática local e \gamma é a razão c_{p}/c_{v}. Ela permite passar de p_{0} para p se conhecermos Ma.
Aplicamos isso ao estado antes do choque (região 2) com Ma_{2}=2{,}4 para obter p_{2}:
\frac{p_{0}}{p_{2}}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}Ma_{2}^{2}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}.
  1. Relação de salto de pressão para choque normal (razão entre as pressões estáticas imediatamente a montante e a jusante do choque):
\frac{p_{3}}{p_{2}}=1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}\left(Ma_{2}^{2}-1\right).
Explicação: esta é a fórmula padrão para choque normal em gás perfeito; dá quanto a pressão estática aumenta atravessando o choque.
Combinando (1) e (2) obtemos p_{3} a partir de p_{0}.

Passo 3

Cálculo numérico de p_{2}.
Primeiro calculemos o termo isentrópico:
1+\frac{\gamma-1}{2}Ma_{2}^{2} =1+\frac{1{,}4-1}{2}\cdot(2{,}4)^{2} =1+0{,}2\cdot(5{,}76) =1+1{,}152 =2{,}152.
Agora a potência:
\frac{\gamma}{\gamma-1}=\frac{1{,}4}{0{,}4}=3{,}5.
Portanto
\frac{p_{0}}{p_{2}}=(2{,}152)^{3{,}5}\approx14{,}64.
Logo
p_{2}=\frac{p_{0}}{14{,}64} =\frac{1{,}0\times10^{6}\,\mathrm{Pa}}{14{,}64} \approx6{,}83\times10^{4}\,\mathrm{Pa}=68{,}3\,\mathrm{kPa}.
(Aqui expliquei cada passo: calculei o termo dentro do parêntesis, a razão de expoentes e dividi p_0 pelo resultado para obter p_2.)

Passo 4

Cálculo de p_{3} usando a relação de choque normal.
Usamos
\frac{p_{3}}{p_{2}}=1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}\left(Ma_{2}^{2}-1\right).
Substituindo \gamma=1{,}4 e Ma_{2}^{2}=5{,}76:
\frac{2\gamma}{\gamma+1}=\frac{2\cdot1{,}4}{1{,}4+1}=\frac{2{,}8}{2{,}4}=1{,}166\overline{6},
Ma_{2}^{2}-1=5{,}76-1=4{,}76.
Logo
\frac{p_{3}}{p_{2}}=1+1{,}166\overline{6}\times4{,}76}=1+5{,}555\overline{5}=6{,}555\overline{5}\approx6{,}5556.
Portanto
p_{3}=p_{2}\cdot6{,}5556\approx6{,}83\times10^{4}\,\mathrm{Pa}\times6{,}5556 \approx4{,}478\times10^{5}\,\mathrm{Pa}=447{,}8\,\mathrm{kPa}.

Passo 5

Cálculo do número de Mach após o choque Ma_{3}.
Fórmula padrão (relação para choque normal) que dá Ma_{3} em função de Ma_{2}:
Ma_{3}^{2}=\frac{1+\dfrac{\gamma-1}{2}Ma_{2}^{2}}{\gamma Ma_{2}^{2}-\dfrac{\gamma-1}{2}}.
Explicação: essa expressão resulta da conservação de massa, quantidade de movimento e energia através de um choque normal e é amplamente usada para obter o Mach a jusante.
Substituindo valores:
\text{numerador}=1+\frac{\gamma-1}{2}Ma_{2}^{2}=2{,}152\quad(\text{já calculado}),á
\text{denominador}=\gamma Ma_{2}^{2}-\frac{\gamma-1}{2}=1{,}4\cdot5{,}76-0{,}2=8{,}064-0{,}2=7{,}864.
Portanto
Ma_{3}^{2}=\frac{2{,}152}{7{,}864}\approx0{,}2737, \qquad Ma_{3}=\sqrt{0{,}2737}\approx0{,}523.
(Interpretação: o fluxo que era supersônico com Ma_{2}=2{,}4 atravessa o choque normal e fica sub-sônico com Ma_{3}\approx0{,}523.)

Passo 6

Cálculo das temperaturas estáticas T_{2} e T_{3}.
Relação entre temperatura de estagnação T_{0} e temperatura estática T em escoamento isentrópico:
\frac{T_{0}}{T}=1+\frac{\gamma-1}{2}Ma^{2}.
Como o choque é adiabático ideal (sem troca de calor externa) e para gás perfeito caloricamente perfeito, a temperatura de estagnação T_{0} permanece a mesma antes e depois do choque. Assim podemos obter T_{2} usando Ma_{2} e T_{3} usando Ma_{3}.
Cálculo de T_{2}:
T_{2}=\frac{T_{0}}{1+\dfrac{\gamma-1}{2}Ma_{2}^{2}} =\frac{300\,\mathrm{K}}{2{,}152} \approx139{,}4\,\mathrm{K}.
Cálculo de T_{3}:
T_{3}=\frac{T_{0}}{1+\dfrac{\gamma-1}{2}Ma_{3}^{2}} =\frac{300\,\mathrm{K}}{1+0{,}2\cdot(0{,}2737)} =\frac{300\,\mathrm{K}}{1{,}05474} \approx284{,}5\,\mathrm{K}.
Observação pedagógica: note que T_{3} é maior que T_{2} (o choque aquece o gás), mas T_{3}<T_{0} porque T_{0} é a temperatura de estagnação máxima (conservada aqui).

Resposta

p_{3}\approx4{,}478\times10^{5}\,\mathrm{Pa}=447{,}8\,\mathrm{kPa}
T_{3}\approx284{,}5\,\mathrm{K}
Ma_{3}\approx0{,}523

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