Questão 28: Ar entra em um bocal convergente-divergente de um túnel de vento supersônico com:
- Pressão de estagnação:
- Temperatura de estagnação:
- Velocidade inicial desprezível
Uma onda de choque normal ocorre no plano de saída, onde:
Determine:
a) Pressão estática após o choque
;
b) Temperatura estática após o choque
;
c) Número de Mach após o choque
.
Determine:
a) Pressão estática após o choque
b) Temperatura estática após o choque
c) Número de Mach após o choque
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados:
Pressupostos (implícitos): ar perfeito (gás perfeito caloricamente perfeito) com razão de calor específico
. Velocidade inicial desprezível significa que os
e
dados são as condições de estagnação do fluxo antes do bocal.
O enunciado pergunta:
a) a pressão estática após o choque normal, ;
b) a temperatura estática após o choque, ;
c) o número de Mach após o choque, .
a) a pressão estática após o choque normal,
b) a temperatura estática após o choque,
c) o número de Mach após o choque,
Passo 2
Fórmulas e conceitos que vamos usar (apresento e explico cada uma):
- Relação isentrópica entre pressão de estagnação
e pressão estática em uma região isentrópica com número de Mach :
Explicação: essa fórmula vem das relações isentrópicas de um gás perfeito. Aqui
é a pressão total (stagnation),
é a pressão estática local e
é a razão
. Ela permite passar de
para
se conhecermos
.
Aplicamos isso ao estado antes do choque (região 2) com
para obter
:
- Relação de salto de pressão para choque normal (razão entre as pressões estáticas imediatamente a montante e a jusante do choque):
Explicação: esta é a fórmula padrão para choque normal em gás perfeito; dá quanto a pressão estática aumenta atravessando o choque.
Combinando (1) e (2) obtemos
a partir de
.
Passo 3
Cálculo numérico de
.
Primeiro calculemos o termo isentrópico:
Agora a potência:
Portanto
Logo
(Aqui expliquei cada passo: calculei o termo dentro do parêntesis, a razão de expoentes e dividi
pelo resultado para obter
.)
Passo 4
Cálculo de
usando a relação de choque normal.
Usamos
Substituindo
e
:
Logo
Portanto
Passo 5
Cálculo do número de Mach após o choque
.
Fórmula padrão (relação para choque normal) que dá
em função de
:
Explicação: essa expressão resulta da conservação de massa, quantidade de movimento e energia através de um choque normal e é amplamente usada para obter o Mach a jusante.
Substituindo valores:
Portanto
(Interpretação: o fluxo que era supersônico com
atravessa o choque normal e fica sub-sônico com
.)
Passo 6
Cálculo das temperaturas estáticas
e
.
Relação entre temperatura de estagnação
e temperatura estática
em escoamento isentrópico:
Como o choque é adiabático ideal (sem troca de calor externa) e para gás perfeito caloricamente perfeito, a temperatura de estagnação
permanece a mesma antes e depois do choque. Assim podemos obter
usando
e
usando
.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Observação pedagógica: note que
é maior que
(o choque aquece o gás), mas
porque
é a temperatura de estagnação máxima (conservada aqui).