Um avião voa a uma altitude H=845 m à velocidade constante horizontal v=60 m / s. No instante t =0 um pacote é solto do avião que continua o seu voo sem alterar a sua velocidade. O vetor posição do pacote é r=(60 t) imath+(845-4,9 t^2) jmath (em unidades do SI). No instante t=0 a origem do vetor posição coincide com o pé da vertical do solo até o avião. Determinar:
a) A expressão analítica do vetor velocidade do pacote.
b) A componente horizontal (x) e a vertical (y) da velocidade do pacote quando ele atingir o solo (y =0 )
c) A equação da trajetória do pacote.
R: a) v(t)=60 imath-9,8 cdot t jmath, b) -130 m / s, c) y=845-4,9 x^23600.

Passo 1

O enunciado diz que um avião voa horizontalmente a H=845 m com velocidade constante v=60 m/s e, em t=0, solta um pacote. A posição do pacote é
vec r(t) = (60,t),hatimath + l(845 - 4,9,t^2r),hatjmath
Precisamos usar cinemática no plano para obter:
  • (a) o vetor velocidade vec v(t),
  • (b) as componentes vx e vy no instante em que o pacote atinge o solo ( y=0),
  • (c) a equação da trajetória y(x) eliminando o parâmetro t.

Passo 2

Para achar o vetor velocidade basta derivar vec r(t) em relação a t:
vec v(t) = dvec rdt = ddtl(60,tr),hatimath + ddtl(845 - 4,9,t^2r),hatjmath = 60,hatimath - 9,8,t,hatjmath

Passo 3

O pacote atinge o solo quando y(t)=0, isto é,
845 - 4,9,t^2 = 0 Longrightarrow t = raiz8454,9
Nesse instante temos
vx = 60(constante), vy = -9,8,t = -9,8,raiz8454,9approx -128,7 m/s

Passo 4

Para obter a trajetória em função de x eliminamos t usando x=60,tRightarrow t = x/60. Substituindo em y(t):
y = 845 - 4,9l(tfracx60r)^2 = 845 - 4,93600,x^2

Resposta

a) vec v(t) = 60,hatimath - 9,8,t,hatjmath
b) vx = 60 m/s, vy = -9,8raiztfrac8454,9approx -128,7 m/s
c) y = 845 - 4,93600,x^2

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