Um avião voa horizontalmente a
de altitude com velocidade constante de
. Pretende largar uma carga que deve cair exactamente num alvo no solo.
a) Determine o tempo de voo da carga até tocar o solo.
b) Calcule o alcance horizontal que a carga percorre até ao impacto.
c) A que distância horizontal do alvo deve o piloto largar a carga?
a) Determine o tempo de voo da carga até tocar o solo.
b) Calcule o alcance horizontal que a carga percorre até ao impacto.
c) A que distância horizontal do alvo deve o piloto largar a carga?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas:
- Dados fornecidos:
- Altitude da liberação:
. - Velocidade do avião (horizontal e constante):
. - A carga é largada com velocidade inicial horizontal igual à do avião e sem componente vertical inicial (ou seja,
). - Consideramos a aceleração da gravidade
.
- Altitude da liberação:
- Perguntas:
a) Determinar o tempo de queda da carga até tocar o solo.
b) Calcular o alcance horizontal (distância horizontal percorrida pela carga até o impacto).
c) Determinar a que distância horizontal do alvo (isto é, antes do alvo) o piloto deve largar a carga.
Passo 2
Entendendo e escrevendo a equação para o movimento vertical (queda livre):
- Vamos definir as variáveis importantes:
-
é a altura inicial acima do solo; aqui . -
é a componente vertical da velocidade inicial; aqui . -
é a aceleração da gravidade, . -
é o tempo de queda que queremos achar.
-
- A equação do deslocamento vertical, tomando o solo como
e a altura inicial como , com orientação positiva para cima, é:
No instante do impacto
. Substituindo
e
obtemos
- Isolando
vem a fórmula clássica para tempo de queda (queda livre a partir do repouso vertical):
Passo 3
Aplicando a fórmula do tempo com os números dados e fazendo a conta de forma exata:
- Substituímos
e . Primeiro calcule :
- Escrevemos
como uma fração conveniente: . Então
- Tomando a raiz quadrada obtemos um valor racional simples:
- Em decimal isso é
Passo 4
Explicando o movimento horizontal e calculando o alcance:
- Na aproximação sem resistência do ar, o movimento horizontal é independente do vertical e tem velocidade constante igual à velocidade inicial horizontal do avião. Denotando
essa velocidade, aqui . - A posição horizontal
evolui como
se tomarmos
no ponto de largada.
- O alcance horizontal
até o impacto é então
- Substituindo
e obtemos
- Em decimal,
Passo 5
Interpretando a resposta da parte (c) — onde soltar a carga:
- Para que a carga acerte exatamente o alvo no solo, o piloto deve largá-la quando o avião estiver horizontalmente a uma distância do alvo igual ao alcance
calculado, ou seja, antes do alvo por essa distância. - Portanto o piloto deve largar a carga
(aproximadamente ) antes de passar sobre o alvo.