Um avião voa horizontalmente a 250, \mathrm{~m} de altitude com velocidade constante de 72, \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Pretende largar uma carga que deve cair exactamente num alvo no solo.
a) Determine o tempo de voo da carga até tocar o solo.
b) Calcule o alcance horizontal que a carga percorre até ao impacto.
c) A que distância horizontal do alvo deve o piloto largar a carga?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Altitude da liberação: 250\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade do avião (horizontal e constante): 72\\ \mathrm{m/s}.
    • A carga é largada com velocidade inicial horizontal igual à do avião e sem componente vertical inicial (ou seja, v_{y0}=0).
    • Consideramos a aceleração da gravidade g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Perguntas:
    a) Determinar o tempo de queda da carga até tocar o solo.
    b) Calcular o alcance horizontal (distância horizontal percorrida pela carga até o impacto).
    c) Determinar a que distância horizontal do alvo (isto é, antes do alvo) o piloto deve largar a carga.

Passo 2

Entendendo e escrevendo a equação para o movimento vertical (queda livre):
  • Vamos definir as variáveis importantes:
    • h é a altura inicial acima do solo; aqui h=250\\ \mathrm{m}.
    • v_{y0} é a componente vertical da velocidade inicial; aqui v_{y0}=0.
    • g é a aceleração da gravidade, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • t é o tempo de queda que queremos achar.
  • A equação do deslocamento vertical, tomando o solo como y=0 e a altura inicial como y=h, com orientação positiva para cima, é:
y(t)=h + v_{y0}t - \tfrac{1}{2}gt^{2}.
No instante do impacto y(t)=0. Substituindo v_{y0}=0 e y(t)=0 obtemos
0 = h - \tfrac{1}{2} g t^{2}.
  • Isolando t vem a fórmula clássica para tempo de queda (queda livre a partir do repouso vertical):
t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}.

Passo 3

Aplicando a fórmula do tempo com os números dados e fazendo a conta de forma exata:
  • Substituímos h=250 e g=9{,}8. Primeiro calcule 2h:
2h = 2\cdot 250 = 500.
  • Escrevemos g como uma fração conveniente: 9{,}8 = \tfrac{49}{5}. Então
\dfrac{2h}{g} = \dfrac{500}{9{,}8} = \dfrac{500}{49/5} = \dfrac{500\cdot 5}{49} = \dfrac{2500}{49}.
  • Tomando a raiz quadrada obtemos um valor racional simples:
t = \sqrt{\dfrac{2500}{49}} = \dfrac{50}{7}\\ \mathrm{s}.
  • Em decimal isso é
t = \dfrac{50}{7}\\ \mathrm{s} \approx 7{,}142857\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Explicando o movimento horizontal e calculando o alcance:
  • Na aproximação sem resistência do ar, o movimento horizontal é independente do vertical e tem velocidade constante igual à velocidade inicial horizontal do avião. Denotando v_x essa velocidade, aqui v_x=72\\ \mathrm{m/s}.
  • A posição horizontal x(t) evolui como
x(t)=v_x t,
se tomarmos x=0 no ponto de largada.
  • O alcance horizontal R até o impacto é então
R = v_x t.
  • Substituindo t=\dfrac{50}{7}\\ \mathrm{s} e v_x=72\\ \mathrm{m/s} obtemos
R = 72\cdot \dfrac{50}{7} = \dfrac{3600}{7}\\ \mathrm{m}.
  • Em decimal,
R \approx 514{,}285714\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretando a resposta da parte (c) — onde soltar a carga:
  • Para que a carga acerte exatamente o alvo no solo, o piloto deve largá-la quando o avião estiver horizontalmente a uma distância do alvo igual ao alcance R calculado, ou seja, antes do alvo por essa distância.
  • Portanto o piloto deve largar a carga \dfrac{3600}{7}\\ \mathrm{m} (aproximadamente 514{,}29\\ \mathrm{m}) antes de passar sobre o alvo.

Resposta

\displaystyle t=\dfrac{50}{7}\\ \mathrm{s}\approx 7{,}142857\\ \mathrm{s}
\displaystyle R=\dfrac{3600}{7}\\ \mathrm{m}\approx 514{,}2857\\ \mathrm{m}
\displaystyleO piloto deve largar a carga \dfrac{3600}{7}\\ \mathrm{m}\\ (\approx 514{,}29\\ \mathrm{m}) antes do alvo.

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