Exercício: Um certo número de átomos de hélio é colocado em um recipiente, e um número igual de átomos de argônio é colocado em um recipiente idêntico separado. A pressão é a mesma em ambos os recipientes. Os átomos de hélio têm uma massa menor que os átomos de argônio. Para qual gás, se é que isto ocorre:
a) A energia térmica é menor?
b) A energia cinética média de um átomo é menor?
c) A velocidade rms de um átomo é menor?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas. Informações fornecidas:
  • Em um recipiente há um certo número de átomos de hélio; no outro recipiente idêntico há o mesmo número de átomos de argônio. (Portanto o número de partículas em cada recipiente é igual; chamaremos esse número de N.)
  • Os recipientes são idênticos (mesmo volume V).
  • A pressão é a mesma em ambos os recipientes (mesma pressão p).
  • Os átomos de hélio têm massa menor que os átomos de argônio (isto é, m_{\text{He}} < m_{\text{Ar}}).
  • Ambos os gases são formados por átomos (ou seja, são gases monoatômicos).
Perguntas que o enunciado faz:
a) Para qual gás a energia térmica é menor?
b) Para qual gás a energia cinética média de um átomo é menor?
c) Para qual gás a velocidade rms de um átomo é menor?

Passo 2

Usar a lei dos gases ideais para relacionar as grandezas dadas. A lei dos gases ideais, para um gás com N partículas, é
pV = NkT,
onde p é a pressão, V o volume, N o número de partículas, k a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta. Aqui devo explicar cada símbolo: k é a constante de Boltzmann (número que liga temperatura a energia por partícula), T é a temperatura em kelvin, e N é o número de átomos do gás.
Como no enunciado temos p igual para os dois recipientes, V igual e N igual, concluímos por aplicação direta da lei dos gases ideais que a temperatura é a mesma para os dois gases:
T_{\text{He}} = T_{\text{Ar}}.

Passo 3

Definir “energia térmica” e relacioná-la à temperatura. Para um gás monoatômico ideal, a energia interna (energia térmica total armazenada no gás) é dada por
U = \frac{3}{2}NkT.
Aqui expliquei: cada átomo monoatômico tem três graus de liberdade translacionais (movimento em x,y,z). Pelo princípio da equipartição da energia, cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}kT de energia média por partícula. Então por partícula temos \tfrac{3}{2}kT e multiplicando por N vem o total U.
Como N é igual para os dois recipientes e acabamos de concluir que T é igual, segue que U é igual para os dois gases:
U_{\text{He}} = U_{\text{Ar}}.
Portanto, a energia térmica não é menor nem de um lado nem do outro — são iguais.

Passo 4

Energia cinética média por átomo. A energia cinética média de uma única partícula (em um gás monoatômico ideal) é justamente a contribuição por partícula da energia interna:
\langle K \rangle = \frac{3}{2}kT.
Essa fórmula significa: a média da energia cinética de um átomo depende só da temperatura T e da constante k; não depende da massa da partícula. Como vimos em

Passo 5

\langle K \rangle_{\text{He}} = \langle K \rangle_{\text{Ar}}.
Logo a energia cinética média por átomo também é igual nos dois gases.

Passo 6

Velocidade rms e efeito da massa. A velocidade quadrática média (da qual vem a rms) está relacionada à energia cinética média por partícula pela expressão
\frac{1}{2}m\langle v^2\rangle = \langle K \rangle.
Substituindo \langle K \rangle = \tfrac{3}{2}kT obtemos
\langle v^2\rangle = \frac{3kT}{m}.
A velocidade rms (root-mean-square) é a raiz quadrada dessa média:
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}.
Observe e entenda: aqui aparece explicitamente a massa m no denominador dentro da raiz. Assim, para a mesma temperatura T, partículas mais leves têm maior v_{\mathrm{rms}}, e partículas mais pesadas têm menor v_{\mathrm{rms}}.
Como T é o mesmo nos dois recipientes e m_{\text{He}} < m_{\text{Ar}}, concluímos que
v_{\mathrm{rms,He}} > v_{\mathrm{rms,Ar}}.
Portanto a velocidade rms menor é a do argônio.
Como ilustração numérica rápida: se aproximarmos as massas por massas atômicas (He \approx 4 u, Ar \approx 40 u), então
\frac{v_{\mathrm{rms,He}}}{v_{\mathrm{rms,Ar}}}=\sqrt{\frac{m_{\text{Ar}}}{m_{\text{He}}}}=\sqrt{\frac{40}{4}}=\sqrt{10}\approx 3{,}16,
ou seja, átomos de hélio se movem em média muito mais rápido que átomos de argônio à mesma temperatura.

Passo 7

Resumo verbal das conclusões (já justificadas nos passos anteriores):
  • Energia térmica total (energia interna) depende de N e T. Como ambos são iguais, as energias térmicas são iguais.
  • Energia cinética média por átomo depende só de T. Como T é igual, as energias cinéticas médias por átomo são iguais.
  • Velocidade rms depende de m por v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{3kT/m}. Como m_{\text{Ar}}>m_{\text{He}} e T é igual, o argônio tem menor v_{\mathrm{rms}}.

Resposta

a) As energias térmicas são iguais para os dois gases.
b) As energias cinéticas médias por átomo são iguais para os dois gases.
c) A velocidade rms é menor para o argônio.

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