Exercício: Um certo número de átomos de hélio é colocado em um recipiente, e um número igual de átomos de argônio é colocado em um recipiente idêntico separado. A pressão é a mesma em ambos os recipientes. Os átomos de hélio têm uma massa menor que os átomos de argônio. Para qual gás, se é que isto ocorre:
a) A energia térmica é menor?
b) A energia cinética média de um átomo é menor?
c) A velocidade rms de um átomo é menor?
a) A energia térmica é menor?
b) A energia cinética média de um átomo é menor?
c) A velocidade rms de um átomo é menor?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas. Informações fornecidas:
- Em um recipiente há um certo número de átomos de hélio; no outro recipiente idêntico há o mesmo número de átomos de argônio. (Portanto o número de partículas em cada recipiente é igual; chamaremos esse número de
.) - Os recipientes são idênticos (mesmo volume
). - A pressão é a mesma em ambos os recipientes (mesma pressão
). - Os átomos de hélio têm massa menor que os átomos de argônio (isto é,
). - Ambos os gases são formados por átomos (ou seja, são gases monoatômicos).
Perguntas que o enunciado faz:
a) Para qual gás a energia térmica é menor?
b) Para qual gás a energia cinética média de um átomo é menor?
c) Para qual gás a velocidade rms de um átomo é menor?
a) Para qual gás a energia térmica é menor?
b) Para qual gás a energia cinética média de um átomo é menor?
c) Para qual gás a velocidade rms de um átomo é menor?
Passo 2
Usar a lei dos gases ideais para relacionar as grandezas dadas. A lei dos gases ideais, para um gás com
partículas, é
onde
é a pressão,
o volume,
o número de partículas,
a constante de Boltzmann e
a temperatura absoluta. Aqui devo explicar cada símbolo:
é a constante de Boltzmann (número que liga temperatura a energia por partícula),
é a temperatura em kelvin, e
é o número de átomos do gás.
Como no enunciado temos
igual para os dois recipientes,
igual e
igual, concluímos por aplicação direta da lei dos gases ideais que a temperatura é a mesma para os dois gases:
Passo 3
Definir “energia térmica” e relacioná-la à temperatura. Para um gás monoatômico ideal, a energia interna (energia térmica total armazenada no gás) é dada por
Aqui expliquei: cada átomo monoatômico tem três graus de liberdade translacionais (movimento em
). Pelo princípio da equipartição da energia, cada grau de liberdade contribui com
de energia média por partícula. Então por partícula temos
e multiplicando por
vem o total
.
Como
é igual para os dois recipientes e acabamos de concluir que
é igual, segue que
é igual para os dois gases:
Portanto, a energia térmica não é menor nem de um lado nem do outro — são iguais.
Passo 4
Energia cinética média por átomo. A energia cinética média de uma única partícula (em um gás monoatômico ideal) é justamente a contribuição por partícula da energia interna:
Essa fórmula significa: a média da energia cinética de um átomo depende só da temperatura
e da constante
; não depende da massa da partícula. Como vimos em
Passo 5
Logo a energia cinética média por átomo também é igual nos dois gases.
Passo 6
Velocidade rms e efeito da massa. A velocidade quadrática média (da qual vem a rms) está relacionada à energia cinética média por partícula pela expressão
Substituindo
obtemos
A velocidade rms (root-mean-square) é a raiz quadrada dessa média:
Observe e entenda: aqui aparece explicitamente a massa
no denominador dentro da raiz. Assim, para a mesma temperatura
, partículas mais leves têm maior
, e partículas mais pesadas têm menor
.
Como
é o mesmo nos dois recipientes e
, concluímos que
Portanto a velocidade rms menor é a do argônio.
Como ilustração numérica rápida: se aproximarmos as massas por massas atômicas (He
u, Ar
u), então
ou seja, átomos de hélio se movem em média muito mais rápido que átomos de argônio à mesma temperatura.
Passo 7
Resumo verbal das conclusões (já justificadas nos passos anteriores):
- Energia térmica total (energia interna) depende de
e . Como ambos são iguais, as energias térmicas são iguais. - Energia cinética média por átomo depende só de
. Como é igual, as energias cinéticas médias por átomo são iguais. - Velocidade rms depende de
por . Como e é igual, o argônio tem menor .
Resposta
a) As energias térmicas são iguais para os dois gases.
b) As energias cinéticas médias por átomo são iguais para os dois gases.
c) A velocidade rms é menor para o argônio.
b) As energias cinéticas médias por átomo são iguais para os dois gases.
c) A velocidade rms é menor para o argônio.