Um projéctil é lançado do solo com velocidade inicial v_{0}=30, \mathrm{~m} / \mathrm{s} e ângulo de lançamento \theta=40^{\circ} O projéctil deve aterrar sobre o tampo de uma mesa de 5,!0, \mathrm{~m} de altura.
a) Calcule a altura máxima atingida.
b) Determine a velocidade máxima durante o trajecto.
c) Calcule o raio de curvatura da trajectória no ponto mais alto.
d) Determine a distância horizontal ao ponto de lançamento onde o projéctil atinge a mesa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas.
Dados fornecidos:
v_{0}=30\\ \mathrm{m/s},\qquad \theta=40^\circ,\qquad \text{altura da mesa }h_{\text{mesa}}=5{,}10\\ \mathrm{m}.
Perguntas:
a) Calcular a altura máxima atingida pelo projéctil (relativa ao solo).
b) Determinar a velocidade máxima ao longo do trajecto.
c) Calcular o raio de curvatura da trajectória no ponto mais alto.
d) Determinar a distância horizontal desde o lançamento até o ponto onde o projéctil atinge a mesa.

Passo 2

Primeiro vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical — isto é essencial e é o passo que usamos sempre em movimento oblíquo.
Definição e fórmulas:
v_{0x}=v_{0}\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_{0}\sin\theta,
onde v_{0x} é a componente horizontal (constante, porque não há resistência do ar) e v_{0y} é a componente vertical (varia com o tempo por causa da gravidade).
Usando g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} e valores trigonométricos aproximados:
\sin40^\circ\approx0{,}6427876,\qquad \cos40^\circ\approx0{,}7660444.
Cálculo numérico:
v_{0y}=30\cdot 0{,}6427876 \approx 19{,}28\\ \mathrm{m/s},
v_{0x}=30\cdot 0{,}7660444 \approx 22{,}98\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

(a) Altura máxima atingida.
Conceito: no ponto mais alto a componente vertical da velocidade é nula ( v_y=0). Usamos a equação de movimento vertical (cinemática sem resistência do ar)
v_y^2=v_{0y}^2-2g\Delta y,
onde \Delta y é a variação de altura desde o lançamento até o topo. Colocando v_y=0 e isolando \Delta y obtemos a altura máxima
H=\Delta y=\frac{v_{0y}^2}{2g}.
Substituindo v_{0y}\approx19{,}2836\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
H=\frac{(19{,}2836)^2}{2\cdot 9{,}8}\approx\frac{371{,}88}{19{,}6}\approx 18{,}98\\ \mathrm{m}.
Portanto a altura máxima (acima do solo) é aproximadamente 18{,}98\\ \mathrm{m}.

Passo 4

(b) Velocidade máxima durante o trajecto.
Raciocínio didático: sem resistência do ar existe conservação de energia mecânica entre pontos de diferentes alturas (ou, equivalentemente, a relação cinemática v^2=v_x^2+v_y^2 com v_x constante). A velocidade inicial é v_0=30\\ \mathrm{m/s}. Como o projéctil nunca desce abaixo do solo (altura inicial y_0=0), e velocidade aumenta quando o projéctil desce a alturas menores (não ocorrendo aqui), a maior velocidade que aparece ao longo do trajecto é a velocidade inicial v_0. Podemos confirmar calculando a velocidade quando atinge a mesa (altura h_{\text{mesa}}=5{,}10\\ \mathrm{m}):
Usando energia/cinemática:
v^2=v_0^2-2g(y-0)=v_0^2-2g h_{\text{mesa}}.
Substituindo:
v^2=900-2\cdot 9{,}8\cdot 5{,}10=900-99{,}96=800{,}04,
logo
v=\sqrt{800{,}04}\approx 28{,}28\\ \mathrm{m/s}.
Como 28{,}28<30, a velocidade inicial 30\\ \mathrm{m/s} é de facto a máxima ao longo do trajecto. Conclusão: velocidade máxima é 30\\ \mathrm{m/s} (ocorre no instante do lançamento).

Passo 5

(c) Raio de curvatura da trajetória no ponto mais alto.
Conceito e fórmula: para um movimento plano, o raio de curvatura instantâneo \rho está ligado à componente normal da aceleração a_n e à velocidade v por
\rho=\frac{v^2}{a_n},
onde a_n é a componente da aceleração perpendicular à velocidade. No ponto mais alto a velocidade é horizontal (somente v_x) e a aceleração é a gravidade vertical para baixo (0,-g), ou seja, a aceleração é perpendicular à velocidade e tem magnitude g. Assim a_n=g naquele ponto.
Velocidade no ponto mais alto:
v_{\text{top}}=v_{0x}=v_0\cos\theta.
Logo
\rho=\frac{(v_0\cos\theta)^2}{g}.
Cálculo numérico usando v_0^2\cos^2\theta=900\cos^2 40^\circ e \cos^2 40^\circ\approx0{,}58682409:
(v_0\cos\theta)^2\approx 900\cdot 0{,}58682409\approx 528{,}14,
\rho\approx\frac{528{,}14}{9{,}8}\approx 53{,}89\\ \mathrm{m}.

Passo 6

(d) Distância horizontal ao ponto de lançamento onde o projéctil atinge a mesa.
Estratégia: achar o instante de tempo t em que a coordenada vertical y(t) vale h_{\text{mesa}}=5{,}10\\ \mathrm{m}, e então calcular x(t)=v_{0x}t.
Equação vertical do movimento:
y(t)=v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2.
Impondo y(t)=h_{\text{mesa}} obtemos a equação quadrática em t:
-\tfrac{1}{2}gt^2+v_{0y}t-h_{\text{mesa}}=0.
Multiplicando por -1 para usar a fórmula quadrática:
\tfrac{1}{2}gt^2-v_{0y}t+h_{\text{mesa}}=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara (ou a fórmula quadrática), os tempos são
t=\frac{v_{0y}\pm\sqrt{v_{0y}^2-2gh_{\text{mesa}}}}{g}.
Interpretando: existem duas interseções com a altura h_{\text{mesa}}: uma na subida (menor t) e outra na descida (maior t). Nós queremos o tempo de impacto na mesa, que é a maior raiz (o instante de descida).
Cálculos numéricos:
v_{0y}^2\approx 371{,}88,\qquad 2gh_{\text{mesa}}=2\cdot 9{,}8\cdot 5{,}10\approx 99{,}96,
\Delta=v_{0y}^2-2gh_{\text{mesa}}\approx 371{,}88-99{,}96=271{,}92,
\sqrt{\Delta}\approx 16{,}49.
Tempo de impacto (a raiz maior):
t_{\text{impacto}}=\frac{19{,}2836+16{,}49}{9{,}8}\approx\frac{35{,}7736}{9{,}8}\approx 3{,}65\\ \mathrm{s}.
Agora a posição horizontal:
x(t_{\text{impacto}})=v_{0x}t_{\text{impacto}}\approx 22{,}98\cdot 3{,}65\approx 83{,}91\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) 18{,}98\\ \mathrm{m}
(b) 30{,}0\\ \mathrm{m/s}
(c) 53{,}89\\ \mathrm{m}
(d) 83{,}91\\ \mathrm{m}

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