Um projéctil é lançado do solo com velocidade inicial
e ângulo de lançamento
O projéctil deve aterrar sobre o tampo de uma mesa de
de altura.
a) Calcule a altura máxima atingida.
b) Determine a velocidade máxima durante o trajecto.
c) Calcule o raio de curvatura da trajectória no ponto mais alto.
d) Determine a distância horizontal ao ponto de lançamento onde o projéctil atinge a mesa.
a) Calcule a altura máxima atingida.
b) Determine a velocidade máxima durante o trajecto.
c) Calcule o raio de curvatura da trajectória no ponto mais alto.
d) Determine a distância horizontal ao ponto de lançamento onde o projéctil atinge a mesa.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas.
Dados fornecidos:
Perguntas:
a) Calcular a altura máxima atingida pelo projéctil (relativa ao solo).
b) Determinar a velocidade máxima ao longo do trajecto.
c) Calcular o raio de curvatura da trajectória no ponto mais alto.
d) Determinar a distância horizontal desde o lançamento até o ponto onde o projéctil atinge a mesa.
a) Calcular a altura máxima atingida pelo projéctil (relativa ao solo).
b) Determinar a velocidade máxima ao longo do trajecto.
c) Calcular o raio de curvatura da trajectória no ponto mais alto.
d) Determinar a distância horizontal desde o lançamento até o ponto onde o projéctil atinge a mesa.
Passo 2
Primeiro vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical — isto é essencial e é o passo que usamos sempre em movimento oblíquo.
Definição e fórmulas:
onde
é a componente horizontal (constante, porque não há resistência do ar) e
é a componente vertical (varia com o tempo por causa da gravidade).
Usando
e valores trigonométricos aproximados:
Cálculo numérico:
Passo 3
(a) Altura máxima atingida.
Conceito: no ponto mais alto a componente vertical da velocidade é nula (
). Usamos a equação de movimento vertical (cinemática sem resistência do ar)
onde
é a variação de altura desde o lançamento até o topo. Colocando
e isolando
obtemos a altura máxima
Substituindo
e
:
Portanto a altura máxima (acima do solo) é aproximadamente
.
Passo 4
(b) Velocidade máxima durante o trajecto.
Raciocínio didático: sem resistência do ar existe conservação de energia mecânica entre pontos de diferentes alturas (ou, equivalentemente, a relação cinemática
com
constante). A velocidade inicial é
. Como o projéctil nunca desce abaixo do solo (altura inicial
), e velocidade aumenta quando o projéctil desce a alturas menores (não ocorrendo aqui), a maior velocidade que aparece ao longo do trajecto é a velocidade inicial
. Podemos confirmar calculando a velocidade quando atinge a mesa (altura
):
Usando energia/cinemática:
Substituindo:
logo
Como
, a velocidade inicial
é de facto a máxima ao longo do trajecto. Conclusão: velocidade máxima é
(ocorre no instante do lançamento).
Passo 5
(c) Raio de curvatura da trajetória no ponto mais alto.
Conceito e fórmula: para um movimento plano, o raio de curvatura instantâneo
está ligado à componente normal da aceleração
e à velocidade
por
onde
é a componente da aceleração perpendicular à velocidade. No ponto mais alto a velocidade é horizontal (somente
) e a aceleração é a gravidade vertical para baixo
, ou seja, a aceleração é perpendicular à velocidade e tem magnitude
. Assim
naquele ponto.
Velocidade no ponto mais alto:
Logo
Cálculo numérico usando
e
:
Passo 6
(d) Distância horizontal ao ponto de lançamento onde o projéctil atinge a mesa.
Estratégia: achar o instante de tempo
em que a coordenada vertical
vale
, e então calcular
.
Equação vertical do movimento:
Impondo
obtemos a equação quadrática em
:
Multiplicando por
para usar a fórmula quadrática:
Aplicando a fórmula de Bhaskara (ou a fórmula quadrática), os tempos são
Interpretando: existem duas interseções com a altura
: uma na subida (menor
) e outra na descida (maior
). Nós queremos o tempo de impacto na mesa, que é a maior raiz (o instante de descida).
Cálculos numéricos:
Tempo de impacto (a raiz maior):
Agora a posição horizontal:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)