Exercício: Uma amostra de um gás ideal monoatômico, consistindo de
átomos em um volume de
, está inicialmente a uma temperatura de 290 K . O gás é resfriado até atingir uma pressão de
. Dado:
.
a) Qual é a variação de entropia para o gás e para cada átomo?
b) Qual é a razão entre a velocidade
final de cada átomo e sua velocidade rms inicial?
c) Como a variação na entropia do gás depende dessa razão
?
a) Qual é a variação de entropia para o gás e para cada átomo?
b) Qual é a razão entre a velocidade
c) Como a variação na entropia do gás depende dessa razão
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede três coisas.
Dados:
(número de átomos)\n
\n
(temperatura inicial)\n
(pressão final)\n
(constante de Boltzmann)\n
Perguntas:
a) Qual é a variação de entropia do gás (total) e a variação de entropia por átomo?\n
b) Qual é a razão entre a velocidade rms final de cada átomo e a velocidade rms inicial, ou seja ?\n
c) Como a variação de entropia do gás depende dessa razão ?
a) Qual é a variação de entropia do gás (total) e a variação de entropia por átomo?\n
b) Qual é a razão entre a velocidade rms final de cada átomo e a velocidade rms inicial, ou seja
c) Como a variação de entropia do gás depende dessa razão
Observação implícita (lida do enunciado): o volume
é dado e não muda no enunciado, então vamos tratar o processo como resfriamento a volume constante (recipiente rígido). Não houve indicação de variação de
ou
, portanto usamos
fixo.
Passo 2
Encontrar a temperatura final
usando a equação dos gases ideais. Explicando a fórmula: para um gás ideal, a equação dos gases em termos de
e
é
onde
é a pressão,
o volume,
o número de partículas,
a constante de Boltzmann e
a temperatura absoluta. Como
e
são constantes e temos a pressão final
, isolamos
:
Agora calculamos numericamente. Primeiro calculei mentalmente o produto
:
. O denominador
. Logo
Também é útil notar que, porque
é fixo,
; isso checa:
(metade aproximadamente).
Passo 3
Calcular a variação de entropia do gás para um processo a volume constante. Conceito e fórmula: a variação de entropia reversível é
Para um gás ideal num processo a volume constante, o calor reversível é
, onde
é a capacidade térmica a volume constante do conjunto de partículas. Para um gás monoatômico clássico, cada átomo tem três graus de liberdade (três direções de movimento), e a equipartição de energia dá energia média por átomo
. Portanto a capacidade a volume constante total é
Integrando
Agora substituímos os números. Já temos
. Então
Calculemos o logaritmo:
. Assim
A variação de entropia por átomo é simplesmente
. Usando a forma por átomo da fórmula:
Numericamente,
Passo 4
Relacionar as velocidades rms com a temperatura e obter a razão pedida. Conceito: para um gás ideal monoatômico a energia cinética média por átomo é dada por equipartição:
onde
é a massa de uma partícula e
é o valor médio do quadrado da velocidade. A velocidade rms é
. Isolando,
Portanto a razão entre as velocidades rms final e inicial (a massa cancela) é
Já temos
, então
Passo 5
Expressar a variação de entropia em função da razão de velocidades. Usando
, isto é
, substituímos na expressão de
:
Como
,
A variação por átomo fica
Se quiser verificar numericamente, usando
, tem-se
, que é o mesmo valor obtido antes (bom cheque de consistência).
Resposta
(a)
\n
\n
(b) \n
(c) \n
(e por átomo) .
(b)
(c)
(e por átomo)