Exercício: Uma amostra de um gás ideal monoatômico, consistindo de 1,00 \times 10^{23} átomos em um volume de 4,00 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3}, está inicialmente a uma temperatura de 290 K . O gás é resfriado até atingir uma pressão de 5,00 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. Dado: k_{B}= 1,38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{K}.
a) Qual é a variação de entropia para o gás e para cada átomo?
b) Qual é a razão entre a velocidade r m s final de cada átomo e sua velocidade rms inicial?
c) Como a variação na entropia do gás depende dessa razão v_{r m s, f} / v_{r m s, i} ?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede três coisas.
Dados:
N = 1{,}00\times 10^{23} (número de átomos)\n
V = 4{,}00\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3\n
T_i = 290\\ \mathrm{K} (temperatura inicial)\n
p_f = 5{,}00\times 10^{4}\\ \mathrm{N/m}^2 (pressão final)\n
k_B = 1{,}38\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/K} (constante de Boltzmann)\n
Perguntas:
a) Qual é a variação de entropia do gás (total) e a variação de entropia por átomo?\n
b) Qual é a razão entre a velocidade rms final de cada átomo e a velocidade rms inicial, ou seja \dfrac{v_{\mathrm{rms},f}}{v_{\mathrm{rms},i}}?\n
c) Como a variação de entropia do gás depende dessa razão \dfrac{v_{\mathrm{rms},f}}{v_{\mathrm{rms},i}}?
Observação implícita (lida do enunciado): o volume V é dado e não muda no enunciado, então vamos tratar o processo como resfriamento a volume constante (recipiente rígido). Não houve indicação de variação de N ou V, portanto usamos V fixo.

Passo 2

Encontrar a temperatura final T_f usando a equação dos gases ideais. Explicando a fórmula: para um gás ideal, a equação dos gases em termos de N e k_B é
pV = Nk_B T,
onde p é a pressão, V o volume, N o número de partículas, k_B a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta. Como V e N são constantes e temos a pressão final p_f, isolamos T_f:
T_f = \frac{p_f V}{N k_B}.
Agora calculamos numericamente. Primeiro calculei mentalmente o produto p_f V: p_f V = 5{,}00\times 10^{4}\times 4{,}00\times 10^{-3} = 200. O denominador N k_B = 1{,}00\times 10^{23}\times 1{,}38\times 10^{-23} = 1{,}38. Logo
T_f = \frac{200}{1{,}38} \approx 144{,}93\\ \mathrm{K}.
Também é útil notar que, porque V é fixo, \dfrac{T_f}{T_i} = \dfrac{p_f}{p_i}; isso checa: T_f \approx 0{,}49975\,T_i (metade aproximadamente).

Passo 3

Calcular a variação de entropia do gás para um processo a volume constante. Conceito e fórmula: a variação de entropia reversível é
\Delta S = \int \frac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T}.
Para um gás ideal num processo a volume constante, o calor reversível é \delta Q_{\mathrm{rev}} = C_V\,dT, onde C_V é a capacidade térmica a volume constante do conjunto de partículas. Para um gás monoatômico clássico, cada átomo tem três graus de liberdade (três direções de movimento), e a equipartição de energia dá energia média por átomo \tfrac{3}{2}k_B T. Portanto a capacidade a volume constante total é
C_V = N\cdot \frac{3}{2}k_B.
Integrando
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{C_V}{T}\,dT = C_V \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right) = N\cdot \frac{3}{2}k_B \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Agora substituímos os números. Já temos N k_B = 1{,}38. Então
\Delta S = \frac{3}{2}\times 1{,}38 \times \ln\!\left(\frac{144{,}93}{290}\right)\\ \mathrm{J/K}.
Calculemos o logaritmo: \ln\!\left(\dfrac{144{,}93}{290}\right)=\ln(0{,}49975)\approx -0{,}69365. Assim
\Delta S \approx \frac{3}{2}\times 1{,}38 \times (-0{,}69365) \approx -1{,}44\\ \mathrm{J/K}.
A variação de entropia por átomo é simplesmente \Delta s=\dfrac{\Delta S}{N}. Usando a forma por átomo da fórmula:
\Delta s = \frac{3}{2}k_B \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Numericamente,
\Delta s \approx \frac{-1{,}44}{1{,}00\times 10^{23}}\\ \mathrm{J/K} \approx -1{,}44\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.

Passo 4

Relacionar as velocidades rms com a temperatura e obter a razão pedida. Conceito: para um gás ideal monoatômico a energia cinética média por átomo é dada por equipartição:
\frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle = \frac{3}{2} k_B T,
onde m é a massa de uma partícula e \langle v^2\rangle é o valor médio do quadrado da velocidade. A velocidade rms é v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\langle v^2\rangle}. Isolando,
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}}.
Portanto a razão entre as velocidades rms final e inicial (a massa cancela) é
\frac{v_{\mathrm{rms},f}}{v_{\mathrm{rms},i}} = \sqrt{\frac{T_f}{T_i}}.
Já temos T_f/T_i \approx 0{,}49975, então
\frac{v_{\mathrm{rms},f}}{v_{\mathrm{rms},i}} \approx \sqrt{0{,}49975} \approx 0{,}707.

Passo 5

Expressar a variação de entropia em função da razão de velocidades. Usando T\propto v_{\mathrm{rms}}^2, isto é \dfrac{T_f}{T_i}=\left(\dfrac{v_{\mathrm{rms},f}}{v_{\mathrm{rms},i}}\right)^2, substituímos na expressão de \Delta S:
\Delta S = N\cdot \frac{3}{2}k_B \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right) = N\cdot \frac{3}{2}k_B \ln\!\left(\left(\frac{v_{\mathrm{rms},f}}{v_{\mathrm{rms},i}}\right)^2\right).
Como \ln(x^2)=2\ln x,
\Delta S = 3 N k_B \ln\!\left(\frac{v_{\mathrm{rms},f}}{v_{\mathrm{rms},i}}\right).
A variação por átomo fica
\Delta s = 3 k_B \ln\!\left(\frac{v_{\mathrm{rms},f}}{v_{\mathrm{rms},i}}\right).
Se quiser verificar numericamente, usando \ln(0{,}707)\approx -0{,}34682, tem-se \Delta S \approx 3\times 1{,}38\times(-0{,}34682)\approx -1{,}44\\ \mathrm{J/K}, que é o mesmo valor obtido antes (bom cheque de consistência).

Resposta

(a) \displaystyle \Delta S = -1{,}44\\ \mathrm{J/K}\n
\displaystyle \Delta s\\ \text{(por átomo)} = -1{,}44\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/K}á\n
(b) \displaystyle \frac{v_{\mathrm{rms},f}}{v_{\mathrm{rms},i}} \approx 0{,}707\n
(c) \displaystyle \Delta S = 3 N k_B \ln\!\left(\frac{v_{\mathrm{rms},f}}{v_{\mathrm{rms},i}}\right) \n
(e por átomo) \displaystyle \Delta s = 3 k_B \ln\!\left(\frac{v_{\mathrm{rms},f}}{v_{\mathrm{rms},i}}\right).

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