Dois carros iniciam uma viagem partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a
e o outro para o oeste a
. A que taxa está crescendo a distância entre os carros 10 horas depois?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos dois carros que começam uma viagem do mesmo ponto. Um vai para o sul a 45 km/h e o outro para o oeste a 108 km/h. Queremos descobrir a que velocidade a distância entre eles tá aumentando depois de 10 horas. Isso é um problema de taxas relacionadas, onde usamos um pouco de matemática para ver como duas coisas que mudam estão relacionadas entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis para deixar tudo organizado:
- Seja
o tempo em horas desde o início da viagem. - A distância que o carro que vai para o sul percorreu após
horas é km. - A distância que o carro que vai para o oeste percorreu após
horas é km. - Queremos encontrar a taxa de variação da distância entre os carros, vamos chamar de
, onde é a distância entre os dois carros.
Passo 3
Como os carros estão se movendo em direções perpendiculares (sul e oeste), podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar as distâncias:
Substituindo as expressões de
e
:
Passo 4
Agora, vamos derivar essa equação em relação ao tempo
para encontrar
:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da raiz:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da raiz:
Agora, derivando
:
Passo 5
Notou que a derivada não depende do tempo
? Isso significa que a taxa de crescimento da distância entre os carros é constante ao longo do tempo. Portanto, depois de 10 horas, a taxa continua sendo a mesma.
Resposta
A distância entre os carros está aumentando a uma taxa de 117 km/h após 10 horas.