Dois carros iniciam uma viagem partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 45 km / h e o outro para o oeste a 108 km / h. A que taxa está crescendo a distância entre os carros 10 horas depois?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos dois carros que começam uma viagem do mesmo ponto. Um vai para o sul a 45 km/h e o outro para o oeste a 108 km/h. Queremos descobrir a que velocidade a distância entre eles tá aumentando depois de 10 horas. Isso é um problema de taxas relacionadas, onde usamos um pouco de matemática para ver como duas coisas que mudam estão relacionadas entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis para deixar tudo organizado:
  • Seja o tempo em horas desde o início da viagem.
  • A distância que o carro que vai para o sul percorreu após horas é km.
  • A distância que o carro que vai para o oeste percorreu após horas é km.
  • Queremos encontrar a taxa de variação da distância entre os carros, vamos chamar de , onde é a distância entre os dois carros.

Passo 3

Como os carros estão se movendo em direções perpendiculares (sul e oeste), podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar as distâncias:
D(t) = raizS(t)^2 + W(t)^2
Substituindo as expressões de D(t) = raiz(45t)^2 + (108t)^2 e :

Passo 4

Agora, vamos derivar essa equação em relação ao tempo D(t) = raiz2025t^2 + 11664t^2 = raiz13689t^2 = 117t para encontrar dDdt = ddt(117t) = 117 , km/h :
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da raiz:
Agora, derivando :

Passo 5

Notou que a derivada não depende do tempo ? Isso significa que a taxa de crescimento da distância entre os carros é constante ao longo do tempo. Portanto, depois de 10 horas, a taxa continua sendo a mesma.

Resposta

A distância entre os carros está aumentando a uma taxa de 117 km/h após 10 horas.

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