Ex. 9. Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+7 y^prime+12 y & =21 e^3 x y(0)=1 & y^prime(0)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo que vamos usar envolve transformadas de Laplace, propriedades das transformadas e como aplicá-las para resolver equações diferenciais. Precisaremos das fórmulas da transformada de Laplace para derivadas e das propriedades lineares dela.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da equação diferencial:
Ly'' + 7Ly' + 12Ly = L21 e^3x

Passo 3

Agora, vamos lembrar das fórmulas da Transformada de Laplace para as derivadas:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Onde é a transformada de Laplace de .

Passo 4

Aplicando essas fórmulas na nossa equação:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 7(s Y(s) - y(0)) + 12 Y(s) = L21 e^3x
Substituindo os valores das condições iniciais s^2 Y(s) - s(1) - 3 + 7s Y(s) - 7(1) + 12 Y(s) = L21 e^3x e (s^2 + 7s + 12) Y(s) - s - 3 - 7 = L21 e^3x :
(s^2 + 7s + 12) Y(s) - s - 10 = L21 e^3x
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace do lado direito. Sabemos que:
Le^ax = 1s - a
Então,
L21 e^3x = 21 cdot 1s - 3
Substituindo na equação:
(s^2 + 7s + 12) Y(s) - s - 10 = 21s - 3

Passo 6

Isolando (s^2 + 7s + 12) Y(s) = 21s - 3 + s + 10 :
Y(s) = 21s - 3 + s + 10s^2 + 7s + 12
21s - 3 + s + 10 = 21 + (s + 10)(s - 3)s - 3
Vamos simplificar o numerador:
= 21 + s^2 + 10s - 3s - 30s - 3
= s^2 + 7s - 9s - 3
Y(s) = s^2 + 7s - 9(s - 3)(s^2 + 7s + 12)
Então,

Passo 7

Vamos fatorar o denominador s^2 + 7s + 12 = (s + 3)(s + 4) :
Y(s) = s^2 + 7s - 9(s - 3)(s + 3)(s + 4)
Então,

Passo 8

Para simplificar a fração, vamos dividir o numerador pelo denominador:
s^2 + 7s - 9 = (s - 3)(s + 10) + 21
Então,
Y(s) = (s - 3)(s + 10) + 21(s - 3)(s + 3)(s + 4) = s + 10(s + 3)(s + 4) + 21(s - 3)(s + 3)(s + 4)
Agora, podemos decompor em frações parciais.

Passo 9

Após decomposição em frações parciais e simplificações, obtemos:
Y(s) = 2s + 3 + 1s + 4 + 3s - 3

Passo 10

Finalmente, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para encontrar y(x) = 2 e^-3x + e^-4x + 3 e^3x :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 2 e^-3x + e^-4x + 3 e^3x

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