Ex. 9. Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo que vamos usar envolve transformadas de Laplace, propriedades das transformadas e como aplicá-las para resolver equações diferenciais. Precisaremos das fórmulas da transformada de Laplace para derivadas e das propriedades lineares dela.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da equação diferencial:
Passo 3
Agora, vamos lembrar das fórmulas da Transformada de Laplace para as derivadas:
Onde
é a transformada de Laplace de
.
Passo 4
Aplicando essas fórmulas na nossa equação:
Substituindo os valores das condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace do lado direito. Sabemos que:
Então,
Substituindo na equação:
Passo 6
Isolando
:
Vamos simplificar o numerador:
Então,
Passo 7
Vamos fatorar o denominador
:
Então,
Passo 8
Para simplificar a fração, vamos dividir o numerador pelo denominador:
Então,
Agora, podemos decompor em frações parciais.
Passo 9
Após decomposição em frações parciais e simplificações, obtemos:
Passo 10
Finalmente, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: