Um aviāo, voando em linha reta a uma altitude de 8 km com velocidade constante de 340 km / h, passou diretamente acima de um observador. Qual é a taxa de variação da distância entre o observador e o aviāo quando o aviāo está a 17 km do observador?

Passo 1

O enunciado descreve um avião que voa horizontalmente a uma altitude constante de 8 km e com velocidade constante de
dxdt=340kmh,
passando exatamente sobre um observador. Precisamos encontrar a taxa de variação da distância s entre o observador e o avião no instante em que s=17 km. O conteúdo aqui é um problema de taxas relacionadas (related rates), usando a relação pitagórica entre o deslocamento horizontal x, a altitude e a distância s.

Passo 2

Definimos a relação entre as variáveis pela geometria do triângulo retângulo:
s^2=x^2+8^2

Passo 3

Diferenciamos ambos os lados em relação ao tempo t (derivada implícita):
2,s,dsdt=2,x,dxdt
ou seja
dsdt=xs,dxdt

Passo 4

No instante em que s=17 km, encontramos x por
x=raizs^2-8^2=raiz17^2-8^2=raiz289-64=15 km

Passo 5

Substituindo x=15 km, s=17 km e dxdt=340kmh em
dsdt=xs,dxdt
temos
dsdt=1517times 340=300kmh

Resposta

A distância entre o observador e o avião está aumentando a 300kmh.

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