(a) Se g=f^2, encontre uma fórmula para g^prime (envolvendo f^prime ).
(b) Se g=(f^prime)^2, encontre uma fórmula para g^prime (envolvendo f^prime prime ).
(c) Suponha que a função f>0 tenha a propriedade de que
(f^prime)^2=f+1f^3
Encontre uma fórmula para f^prime prime em termos de f. (Além de cálculos simples, um pouco de cuidado é necessário em um ponto.)

Passo 1

O enunciado considera uma função f suficientemente diferenciável e pede:
(a) se g=f^2, encontrar g' em termos de f e f';
(b) se g=(f')^2, encontrar g' em termos de f'';
(c) supondo f>0 e ;(f')^2 = f + f^-3, achar f'' em função de f.
Vamos usar regra do produto, regra da cadeia e derivada de potência.

Passo 2

Para (a),Definindo g=f^2, aplicamos a regra da cadeia (ou do “quadrado”):
g' = l(f^2r)' = 2,fcdot f'

Passo 3

Para (b),Definindo g=(f')^2, de novo é o quadrado de uma função (aqui f'), então
g' = l((f')^2r)' = 2,f'cdot (f')' = 2,f',f''

Passo 4

Para (c), partimos de
(f')^2 = f + f^-3
Derivando ambos os lados em x:
- Lado esquerdo: l((f')^2r)' = 2,f',f''.
- Lado direito: (f)' + (f^-3)' = f' - 3,f^-4,f'.
Logo
2,f',f'' = f' - 3,f^-4,f' = f'l(1 - 3,f^-4r)
Como f>0 implica f+f^-3>0 e portanto (f')^2>0, temos f'neq0 e podemos dividir por 2f':
f'' = 12l(1 - 3,f^-4r)

Resposta

(a) g' = 2,f,f'
(b) g' = 2,f',f''
(c) f'' = 12l(1 - 3,f^-4r)

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