(a) Se
, encontre uma fórmula para
(envolvendo
).
(b) Se
, encontre uma fórmula para
(envolvendo
).
(c) Suponha que a função
tenha a propriedade de que
Encontre uma fórmula para
em termos de
. (Além de cálculos simples, um pouco de cuidado é necessário em um ponto.)
(b) Se
(c) Suponha que a função
Passo 1
O enunciado considera uma função
suficientemente diferenciável e pede:
(a) se , encontrar
em termos de
e
;
(b) se , encontrar
em termos de
;
(c) supondo e
, achar
em função de
.
Vamos usar regra do produto, regra da cadeia e derivada de potência.
(a) se
(b) se
(c) supondo
Vamos usar regra do produto, regra da cadeia e derivada de potência.
Passo 2
Para (a),Definindo
, aplicamos a regra da cadeia (ou do “quadrado”):
Passo 3
Para (b),Definindo
, de novo é o quadrado de uma função (aqui
), então
Passo 4
Para (c), partimos de
Derivando ambos os lados em
:
- Lado esquerdo: .
- Lado direito: .
Logo
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Logo
Como
implica
e portanto
, temos
e podemos dividir por
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)