Considere a funçāo Determine uma equação para a reta tangente ao gráfico de no ponto .

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= 2x^2+2x-12x^2-4, & x>0,;xneq2, 0, & x=2, raiz4-x, & x<0,
e pede a reta tangente no ponto P=(-5,f(-5)). Como -5<0, usaremos o ramo f(x)=raiz4-x e precisaremos de f(-5) e de f'(-5).

Passo 2

Calcular f(-5) no ramo raiz4-x:
f(-5)=raiz4-(-5)=raiz9=3
Logo o ponto de tangência é P=(-5,3).

Passo 3

Derivar o ramo raiz4-x usando regra da cadeia. Se g(x)=4-x, então
f(x)=raizg(x)=(g(x))^1/2
e
f'(x)=12,g(x)^-1/2cdot g'(x) =121raiz4-xcdot(-1) =-12raiz4-x

Passo 4

Avaliar f'(x) em x=-5:
f'(-5)=-12raiz4-(-5)=-12cdot3=-16
Esse é o coeficiente angular m da reta tangente.

Passo 5

Escrever a equação da reta tangente com fórmula ponto-declive:
y - y0 = m,(x - x0)
substituindo x0=-5, y0=3 e m=-tfrac16, obtemos
y-3 = -tfrac16(x+5)
Isolando y:
y = -tfrac16x - tfrac56 + 3 = -tfrac16x + tfrac136

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -16,x + 136

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