Dê um exemplo de funções f e g tais que g assume todos os valores, e f circ g e g são diferenciáveis, mas f não é diferenciável. (O problema se torna trivial se não exigirmos que g assuma todos os valores; g poderia ser apenas uma função constante, que então assume valores em algum intervalo ( a, b ), caso em que o comportamento de f fora de ( a, b ) seria irrelevante.)

Passo 1

O enunciado pede funções f e g tais que
  1. gcolonRtoR assume todos os valores (é surjetiva) e é diferenciável.
  2. fcirc g é diferenciável.
  3. f não é diferenciável (em algum ponto).

Passo 2

Escolhemos
f(y)=|y|
Essa função falha em ser diferenciável em y=0, pois o limite do quociente incremental à direita é +1 e à esquerda é -1.

Passo 3

Escolhemos
g(x)=x^3
Essa função é surjetiva (para todo yinR existe x=y^1/3) e é diferenciável em todo R com
g'(x)=3x^2

Passo 4

Vamos ver
Para
Em , os limites laterais são
logo . Concluímos que é diferenciável em todo .

Resposta

f(y)=|y| e g(x)=x^3.

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