Dê um exemplo de funções
e
tais que
assume todos os valores, e
e
são diferenciáveis, mas
não é diferenciável. (O problema se torna trivial se não exigirmos que
assuma todos os valores;
poderia ser apenas uma função constante, que então assume valores em algum intervalo (
), caso em que o comportamento de
fora de (
) seria irrelevante.)
Passo 1
O enunciado pede funções
e
tais que
-
assume todos os valores (é surjetiva) e é diferenciável. -
é diferenciável. -
não é diferenciável (em algum ponto).
Passo 2
Escolhemos
Essa função falha em ser diferenciável em
, pois o limite do quociente incremental à direita é
e à esquerda é
.
Passo 3
Escolhemos
Essa função é surjetiva (para todo
existe
) e é diferenciável em todo
com
Passo 4
Vamos ver
Para
Em
, os limites laterais são
logo
. Concluímos que
é diferenciável em todo
.