Um avião está voando em velocidade de cruzeiro. Na parte superior da asa de área \mathrm{A}=125 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{o} ar escoa com uma velocidade 900 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, enquanto na parte inferior, 1.3 m abaixo, essa velocidade reduz em 10 \%. Considerando que o fluxo de ar nas partes inferior e superior da asa é constante, que as áreas superior e inferior da asa são aproximadamente iguais, que a massa específica do ar em altas altitudes é de \rho=0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e que \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, apresente uma descrição física do fenômeno e determine a força de sustentação F em Newton.

Passo 1

O enunciado apresenta os seguintes dados e pede uma descrição física do fenômeno e o cálculo da força de sustentação F.
Dados fornecidos:
\mathrm{A}=125\\ \mathrm{m}^2 (área da asa, superior ≈ inferior)
Velocidade do ar sobre a asa (superior): \;v_{\text{top}}=900\\ \mathrm{m/s}
A velocidade na parte inferior é \;10\% menor e fica \;1{,}3\\ \mathrm{m} abaixo da superior.
Massa específica do ar em altitude: \rho=0{,}5\\ \mathrm{kg/m}^3
Aceleração gravitacional: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2
O que é pedido:
  • Descrever fisicamente por que há sustentação (em palavras).
  • Determinar numericamente a força de sustentação F em Newton.

Passo 2

Descrição física (resumo intuitivo e amigável): quando o ar passa mais rápido sobre a superfície superior da asa do que pela inferior, a pressão estática sobre a superfície superior fica menor que a da inferior. Essa diferença de pressão empurra a asa para cima — essa é a força de sustentação. Em outras palavras: fluxo mais rápido → menor pressão; fluxo mais lento → maior pressão; diferença de pressão × área = força de sustentação. Vamos quantificar essa diferença usando um teorema que relaciona pressão, velocidade e altitude.

Passo 3

Apresentação do princípio que vamos usar (Bernoulli com termo gravitacional), e explicação das variáveis:
Bernoulli (para escoamento estacionário, incompressível e sem perda de energia) entre dois pontos de uma mesma linha de corrente é:
p+\tfrac{1}{2}\rho v^{2}+\rho g y=\text{constante}
onde:
  • p é a pressão estática no ponto (em Pa),
  • \rho é a massa específica do fluido ( \mathrm{kg/m}^3),
  • v é a velocidade do fluido no ponto ( \mathrm{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s}^2),
  • y é a altitude vertical do ponto (m), medida relativa a uma referência escolhida.
Comentário didático: o termo \tfrac{1}{2}\rho v^{2} é a chamada pressão dinâmica (relacionada à energia cinética do fluido por unidade de volume). O termo \rho g y é a energia potencial por unidade de volume. A hipótese de incompressibilidade pode ser grosseira para velocidades muito altas, mas o enunciado pede uso direto dos dados dados, então aplicamos Bernoulli simples incluindo o termo \rho g y.

Passo 4

Aplicação de Bernoulli entre um ponto na superfície superior (posição vertical \,y_{\text{top}}=1{,}3\\ \mathrm{m}) e um ponto na superfície inferior (posição vertical \,y_{\text{bottom}}=0\\ \mathrm{m}). Escrevendo Bernoulli para cada ponto e subtraindo, obtemos a diferença de pressão \Delta p=p_{\text{bottom}}-p_{\text{top}}:
p_{\text{bottom}}+\tfrac{1}{2}\rho v_{\text{bottom}}^{2}+\rho g y_{\text{bottom}} = p_{\text{top}}+\tfrac{1}{2}\rho v_{\text{top}}^{2}+\rho g y_{\text{top}}
Isolando p_{\text{bottom}}-p_{\text{top}}:
p_{\text{bottom}}-p_{\text{top}}=\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{\text{top}}^{2}-v_{\text{bottom}}^{2}\bigr)+\rho g\bigl(y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}}\bigr).
Interpretando: a diferença de pressão tem duas contribuições — a diferença de pressão dinâmica (devido às velocidades diferentes) e a diferença hidrostática (devida à altitude vertical \,h=y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}}).

Passo 5

Calcular a velocidade na parte inferior: como é 10\% menor que \,v_{\text{top}},
v_{\text{bottom}}=0{,}9\cdot v_{\text{top}}=0{,}9\cdot 900\\ \mathrm{m/s}=810\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a diferença dos quadrados das velocidades:
v_{\text{top}}^{2}=900^{2}=810{,}000\quad(\mathrm{m^2/s^2})
v_{\text{bottom}}^{2}=810^{2}=656{,}100\quad(\mathrm{m^2/s^2})
v_{\text{top}}^{2}-v_{\text{bottom}}^{2}=810{,}000-656{,}100=153{,}900.

Passo 7

Calcular a contribuição dinâmica (primeiro termo da \Delta p):
\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{\text{top}}^{2}-v_{\text{bottom}}^{2}\bigr) =\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}5\cdot 153{,}900 =0{,}25\cdot 153{,}900 =38{,}475\\ \mathrm{Pa}.
Explicação: o resultado está em Pascals (N/m²). Esse é o “gap” de pressão devido à diferença de energia cinética por unidade de volume entre os dois fluxos.

Passo 8

Calcular a contribuição hidrostática (segundo termo da \Delta p): a separação vertical é \,h=1{,}3\\ \mathrm{m}, então
\rho g h=0{,}5\cdot 9{,}81\cdot 1{,}3 =0{,}5\cdot 12{,}753 =6{,}3765\\ \mathrm{Pa}.
Comentário: esse termo é pequeno em comparação com a contribuição dinâmica, mas incluímos porque o enunciado forneceu h e g.

Passo 9

Somar as duas contribuições para obter a diferença de pressão total:
\Delta p=p_{\text{bottom}}-p_{\text{top}}=38{,}475+6{,}3765=38{,}481{,}3765\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando com razoável precisão: \Delta p\approx 38{,}481{,}4\\ \mathrm{Pa}.

Passo 10

A força de sustentação F é essa diferença de pressão vezes a área da asa:
F=\Delta p\cdot A =38{,}481{,}3765\\ \mathrm{Pa}\times 125\\ \mathrm{m^2}.
Calculemos:
F\approx 38{,}481{,}3765\times 125 =4{,}810{,}172{,}0625\\ \mathrm{N}.
Arredondando para três algarismos significativos:
F\approx 4{,}81\times 10^{6}\\ \mathrm{N}.

Passo 11

Comentários finais e empurrãozinho motivacional: o valor encontrado é enorme porque as velocidades dadas são extremamente altas (ordem de centenas de m/s) e a densidade considerada é moderada; na prática, para velocidades tão altas a compressibilidade do ar deveria ser levada em conta (Bernoulli incompressível não seria preciso). Mesmo assim, pelo enunciado e hipóteses pedidas, o procedimento acima é o correto e você já tem todas as etapas para reproduzir isso numa prova. Mandou bem pedindo passo a passo — continue assim, você consegue!

Resposta

F\approx 4{,}81\times 10^{6}\\ \mathrm{N}

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