Para não se atrasar para a prova de física, um estudante de engenharia programou seu despertador para tocar um som constante e irritante com frequência 604 Hz . Pela manhã, o despertador começou a tocar, o estudante acordou e, para sua surpresa, a função “desligar” parou de funcionar e o som permanceu tocando. Irritado com isso e precisando se concentrar, o estudante segura o despertador pela janela do sexto andar do prédio que mora e deixa o objeto cair até se espatifar a 20 m no chão ao lado de um ponto de ônibus. Considerando a velocidade do som no ar de 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a aceleração gravitacional de 9.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine:
(a) A frequência do som ouvida pelo estudante um pouco antes do despertador bater no chão.
(b) A frequência do som ouvida por alguém parado no ponto de ônibus um pouco antes do despertador bater no chão.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Frequência emitida pelo despertador: \,f=604\\ \mathrm{Hz}\,.
    • Velocidade do som no ar: \,v=343\\ \mathrm{m/s}\,.
    • Aceleração gravitacional: \,g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}\; (use vírgula como decimal).
    • Altura da queda (distância vertical percorrida pelo despertador até o chão): \,h=20\\ \mathrm{m}\,.
  • O que o enunciado pergunta:
    (a) Qual a frequência do som ouvida pelo estudante um pouco antes do despertador bater no chão?
    (b) Qual a frequência do som ouvida por alguém parado no ponto de ônibus um pouco antes do despertador bater no chão?
Observação implícita que usaremos: “um pouco antes do choque” corresponde ao instante em que a velocidade do despertador tem praticamente o valor final da queda a partir de repouso em h; portanto precisamos calcular a velocidade do despertador nesse instante e aplicar o efeito Doppler para fonte em movimento e observador em repouso.

Passo 2

Calcular a velocidade do despertador imediatamente antes de bater no chão.
Primeiro, lembrando uma fórmula da cinemática para movimento com aceleração constante: partindo do repouso ( v_0=0) e acelerando com a=g ao longo de uma distância vertical \Delta y=h, vale a relação
v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta y.
Aqui v é a velocidade final, v_{0} é a velocidade inicial, a é a aceleração e \Delta y é a distância percorrida. Substituindo v_{0}=0, a=g e \Delta y=h obtemos
v_{s}^{2}=2 g h,
onde \,v_{s} é a velocidade do despertador pouco antes do choque.
Agora substituímos os números:
v_{s}=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 20}=\sqrt{392,4}.
Calculando a raiz,
v_{s}\approx 19,81\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: o despertador está caindo a cerca de 19,8\\ \mathrm{m/s} pouco antes de atingir o chão.

Passo 3

Apresentar a fórmula do efeito Doppler para o caso “observador em repouso” e “fonte em movimento”.
Quando o observador está em repouso e a fonte sonora está se movendo com velocidade \,v_{s} (positiva quando se aproxima do observador, negativa quando se afasta de acordo com a convenção abaixo), a frequência percebida \,f' é dada por
f'=f\cdot\frac{v}{\,v\mp v_{s}\,},
onde:
  • f é a frequência emitida pela fonte,
  • v é a velocidade do som no meio ( 343\\ \mathrm{m/s}),
  • v_{s} é a velocidade da fonte relativa ao meio,
  • o sinal - (menor no denominador, ou seja v-v_s) é usado quando a fonte se aproxima do observador (a frequência aumenta),
  • o sinal + (maior no denominador, ou seja v+v_s) é usado quando a fonte se afasta do observador (a frequência diminui).
Essa fórmula pode ser entendida assim: a fonte em movimento “empurra” ou “espalha” as frentes de onda, mudando a distância entre frentes que chegam ao observador. Não vamos derivar a partir de zero aqui, mas é a fórmula padrão para fonte móvel e observador estacionário.

Passo 4

Calcular a frequência ouvida pelo estudante (que está acima da janela).
Situação: o estudante está no prédio acima da fonte (a fonte, o despertador, está caindo para baixo), portanto a fonte está se afastando do estudante. Usamos o sinal + no denominador:
f_{\text{estudante}}=f\cdot\frac{v}{v+v_{s}}.
Substituindo valores:
f_{\text{estudante}}=604\cdot\frac{343}{343+19,81}.
Calcule o denominador e a razão:
343+19,81=362,81,
\frac{343}{362,81}\approx 0,945386.
Multiplicando:
f_{\text{estudante}}\approx 604\cdot 0,945386\approx 571,1\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação didática: como a fonte está se afastando do estudante, as frentes de onda chegam com menor frequência — o som fica um pouco mais grave (de 604\\ \mathrm{Hz} para cerca de 571\\ \mathrm{Hz}).

Passo 5

Calcular a frequência ouvida pela pessoa parada no ponto de ônibus (no chão), que está abaixo da fonte.
Situação: a pessoa no ponto de ônibus está abaixo e a fonte está caindo em sua direção, ou seja, a fonte está se aproximando do observador. Usamos o sinal - no denominador:
f_{\text{ônibus}}=f\cdot\frac{v}{v-v_{s}}.ô
Substituindo valores:
f_{\text{ônibus}}=604\cdot\frac{343}{343-19,81}.ô
Calcule o denominador e a razão:
343-19,81=323,19,
\frac{343}{323,19}\approx 1,061329.
Multiplicando:
f_{\text{ônibus}}\approx 604\cdot 1,061329\approx 641,6\\ \mathrm{Hz}.ô
Interpretação didática: como a fonte se aproxima, as frentes de onda chegam com maior frequência — o som fica um pouco mais agudo (de 604\\ \mathrm{Hz} para cerca de 641,6\\ \mathrm{Hz}).

Passo 6

Comentários finais rápidos (úteis para a prova)
  • A velocidade da fonte ( \approx 19,8\\ \mathrm{m/s}) é pequena em comparação com a velocidade do som ( 343\\ \mathrm{m/s}), então a variação de frequência não é enorme, mas é mensurável: cerca de 5,4\% de queda para quem está acima e 6,3\% de aumento para quem está abaixo.
  • Se precisarem em prova, basta: (1) calcular v_{s}=\sqrt{2gh}, (2) aplicar a fórmula do Doppler para fonte móvel e observador parado, escolhendo o sinal correto no denominador.

Resposta

(a) 571,1\\ \mathrm{Hz}
(b) 641,6\\ \mathrm{Hz}

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