Ao avistar um carro da polícia rodoviária, você freia um Porsche de uma velocidade de 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h} para uma velocidade de 80 \mathrm{~km} / \mathrm{h} durante um deslocamento de 88 m , com uma aceleração constante.
(a) Determine essa aceleração.
(b) Quanto tempo foi necessário para se obter essa redução na velocidade?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede coisas claras:
  • Dados do enunciado:
    • velocidade inicial: \,v_i = 100\\ \mathrm{km/h}.
    • velocidade final: \,v_f = 80\\ \mathrm{km/h}.
    • deslocamento durante a frenagem: \,\Delta x = 88\\ \mathrm{m}.
    • aceleração constante durante o trecho.
  • Perguntas:
    • (a) Determine a aceleração (valor e unidade).
    • (b) Determine o tempo necessário para essa redução de velocidade (valor e unidade).

Passo 2

Primeiro passo técnico: converter as velocidades de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s} porque a distância está em metros e as fórmulas de cinemática usuais usam o SI.
Fórmula de conversão: multiplicar por \dfrac{1000}{3600}=\dfrac{5}{18}.
Calculemos:
v_i = 100\cdot\dfrac{5}{18}=\dfrac{500}{18}=\dfrac{250}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx 27,78\\ \mathrm{m/s}
v_f = 80\cdot\dfrac{5}{18}=\dfrac{400}{18}=\dfrac{200}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx 22,22\\ \mathrm{m/s}
Explicação curta: a conversão vem porque 1\\ \mathrm{km}=1000\\ \mathrm{m} e 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Para encontrar a aceleração quando ela é constante e temos deslocamento, usamos a equação da cinemática que relaciona velocidades, aceleração e deslocamento sem depender do tempo:
v_f^{2}=v_i^{2}+2a\Delta x.
Aqui:
  • \,v_i é a velocidade inicial (m/s),
  • \,v_f é a velocidade final (m/s),
  • \,a é a aceleração (m/s ^2),
  • \,\Delta x é o deslocamento (m).
Essa fórmula vem da integração da relação a=\dfrac{dv}{dt} junto com v=\dfrac{dx}{dt} — é uma fórmula padrão para movimento com aceleração constante.
Isolando a:
a=\dfrac{v_f^{2}-v_i^{2}}{2\Delta x}.

Passo 4

Agora aplicamos com os valores convertidos. Usando as formas fracionárias exatas para menos arredondamento:
v_f^{2}-v_i^{2}=\left(\dfrac{200}{9}\right)^{2}-\left(\dfrac{250}{9}\right)^{2} =\dfrac{1}{81}\bigl(200^{2}-250^{2}\bigr) =\dfrac{1}{81}\bigl(40000-62500\bigr) =\dfrac{-22500}{81}=-\dfrac{2500}{9}.
Então
a=\dfrac{-\dfrac{2500}{9}}{2\cdot 88}=\dfrac{-\dfrac{2500}{9}}{176}=-\dfrac{2500}{9\cdot 176}=-\dfrac{625}{396}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Valor numérico aproximado (arredondando para duas casas):
a\approx -1,58\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Comentário didático: o sinal negativo indica que é uma desaceleração (o carro está reduzindo a velocidade).

Passo 5

Agora queremos o tempo necessário para ocorrer essa redução. A equação que relaciona velocidade, aceleração e tempo (quando a é constante) é:
v_f = v_i + a t,
onde \,t é o tempo (s). Isolando t:
t=\dfrac{v_f-v_i}{a}.

Passo 6

Usamos as formas fracionárias exatas novamente para um resultado limpo. Primeiro calcule v_f-v_i:
v_f-v_i=\dfrac{200}{9}-\dfrac{250}{9}=-\dfrac{50}{9}\\ \mathrm{m/s}.
Já sabemos a=-\dfrac{625}{396}\\ \mathrm{m/s^{2}}. Então
t=\dfrac{-\dfrac{50}{9}}{-\dfrac{625}{396}}=\dfrac{50}{9}\cdot\dfrac{396}{625}.
Simplificando:
t=\dfrac{50\cdot 396}{9\cdot 625}.
Dividindo 396 por 9 44, então
t=\dfrac{50\cdot 44}{625}=\dfrac{2200}{625}.
Dividindo numerador e denominador por 25:
t=\dfrac{88}{25}=3,52\\ \mathrm{s}.
Verificação rápida: tempo positivo e compatível com a desaceleração calculada.

Passo 7

Resumo físico e verificação de unidades:
  • A aceleração ficou em \mathrm{m/s^{2}}, adequado.
  • O tempo ficou em segundos, adequado.
  • Os sinais fazem sentido: aceleração negativa (desaceleração) e tempo positivo.

Resposta

-\dfrac{625}{396}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx -1,58\\ \mathrm{m/s^{2}}
\dfrac{88}{25}\\ \mathrm{s}=3,52\\ \mathrm{s}

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