O que é preciso fazer com o comprimento do fio de um pêndulo simples para dobrar sua frequência?
Escolha uma opção:
a. O Comprimento deve ser reduzido para
b. O Comprimento deve ser aumentado para 4 L
c. O Comprimento deve ser reduzido para
d. O Comprimento deve ser aumentado para 2 L
Passo 1
O enunciado pergunta o que devo fazer com o comprimento de um pêndulo simples para que sua frequência dobre.
Informações dadas: o pêndulo tem comprimento inicial e queremos que a nova frequência seja o dobro da frequência original.
Opções fornecidas:
a) o comprimento deve ser reduzido para
b) o comprimento deve ser aumentado para
c) o comprimento deve ser reduzido para
d) o comprimento deve ser aumentado para
Informações dadas: o pêndulo tem comprimento inicial
Opções fornecidas:
a) o comprimento deve ser reduzido para
b) o comprimento deve ser aumentado para
c) o comprimento deve ser reduzido para
d) o comprimento deve ser aumentado para
Passo 2
Conhecemos a fórmula da frequência de pequenas oscilações de um pêndulo simples. Vou explicar essa fórmula passo a passo, porque ela é a chave aqui. Para pequenas oscilações a equação do movimento angular do pêndulo reduz-se a
onde
é o deslocamento angular (em radianos),
é a aceleração da gravidade e
é o comprimento do fio. Essa equação é a de um oscilador harmônico simples, cuja solução é uma oscilação com pulsação (frequência angular)
A frequência (número de oscilações por segundo, em Hz) está relacionada à pulsação por
Substituindo
obtemos a fórmula prática:
Explicando cada símbolo:
é a frequência em Hz,
é a gravidade (aproximadamente
) e
é o comprimento do pêndulo. Note que
varia com a raiz quadrada de
: se
diminui,
aumenta; se
aumenta,
diminui.
Passo 3
Denote por
a frequência inicial com comprimento
e por
a nova frequência com comprimento
. Pelas fórmulas:
Queremos que a nova frequência seja o dobro da original, isto é,
Passo 4
Substituo as expressões de
e
na condição
:
Os fatores
cancelam, sobrando
Agora elevo ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Posso cancelar
(assumindo
), ficando
Invertendo ambos os lados obtenho o comprimento necessário:
Ou seja, para dobrar a frequência, o comprimento do pêndulo deve ser reduzido a um quarto do valor original.
Passo 5
Interpretação prática e checagem das opções: o resultado
corresponde exatamente à opção (c). As outras opções não conferem porque a relação entre frequência e comprimento é
, então dobrar
exige reduzir
por um fator de
(não por
nem multiplicar por
nem por
).
Resposta
c. O Comprimento deve ser reduzido para