O que é preciso fazer com o comprimento do fio de um pêndulo simples para dobrar sua frequência?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. O Comprimento deve ser reduzido para \mathrm{L} / 2
\bigcirc b. O Comprimento deve ser aumentado para 4 L
\bigcirc c. O Comprimento deve ser reduzido para \mathrm{L} / 4
\bigcirc d. O Comprimento deve ser aumentado para 2 L

Passo 1

O enunciado pergunta o que devo fazer com o comprimento de um pêndulo simples para que sua frequência dobre.
Informações dadas: o pêndulo tem comprimento inicial L e queremos que a nova frequência seja o dobro da frequência original.
Opções fornecidas:
a) o comprimento deve ser reduzido para L/2
b) o comprimento deve ser aumentado para 4L
c) o comprimento deve ser reduzido para L/4
d) o comprimento deve ser aumentado para 2L

Passo 2

Conhecemos a fórmula da frequência de pequenas oscilações de um pêndulo simples. Vou explicar essa fórmula passo a passo, porque ela é a chave aqui. Para pequenas oscilações a equação do movimento angular do pêndulo reduz-se a
\theta''(t) + \frac{g}{L}\,\theta(t)=0,
onde \theta(t) é o deslocamento angular (em radianos), g é a aceleração da gravidade e L é o comprimento do fio. Essa equação é a de um oscilador harmônico simples, cuja solução é uma oscilação com pulsação (frequência angular)
\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}.
A frequência (número de oscilações por segundo, em Hz) está relacionada à pulsação por
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Substituindo \omega obtemos a fórmula prática:
f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}.
Explicando cada símbolo: f é a frequência em Hz, g é a gravidade (aproximadamente 9,8\\ \mathrm{m/s^2}) e L é o comprimento do pêndulo. Note que f varia com a raiz quadrada de 1/L: se L diminui, f aumenta; se L aumenta, f diminui.

Passo 3

Denote por f a frequência inicial com comprimento L e por f' a nova frequência com comprimento L'. Pelas fórmulas:
f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}, \qquad f'=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L'}}.
Queremos que a nova frequência seja o dobro da original, isto é,
f'=2f.

Passo 4

Substituo as expressões de f' e f na condição f'=2f:
\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L'}} = 2\cdot\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}.
Os fatores \tfrac{1}{2\pi} cancelam, sobrando
\sqrt{\frac{g}{L'}} = 2\sqrt{\frac{g}{L}}.
Agora elevo ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
\frac{g}{L'} = 4\cdot\frac{g}{L}.
Posso cancelar g (assumindo g\neq0), ficando
\frac{1}{L'} = \frac{4}{L}.
Invertendo ambos os lados obtenho o comprimento necessário:
L'=\frac{L}{4}.
Ou seja, para dobrar a frequência, o comprimento do pêndulo deve ser reduzido a um quarto do valor original.

Passo 5

Interpretação prática e checagem das opções: o resultado L'=\tfrac{L}{4} corresponde exatamente à opção (c). As outras opções não conferem porque a relação entre frequência e comprimento é f\propto 1/\sqrt{L}, então dobrar f exige reduzir L por um fator de 4 (não por 2 nem multiplicar por 4 nem por 2).

Resposta

c. O Comprimento deve ser reduzido para L/4

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