Ao avistar dois cães selvagens próximos à toca de seus filhotes, uma guepardo fêmea, corre em linha reta para afugentá-los. Nessa corajosa ação para garantir a segurança dos filhotes, a velocidade v da guepardo varia com o tempo de acordo \operatorname{com} v=2,3 \mathrm{m} / \mathrm{s}+\left(0,07 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{4}\right) t^{3}. DETERMINE, em \mathrm{km} / \mathrm{h}, a velocidade média da guepardo no intervalo de tempo de t=1,6 \mathrm{~s} a t=4,3 \mathrm{~s}.

Passo 1

O problema descreve um movimento em que a velocidade instantânea da guepardo varia com o tempo segundo
v(t)=2{,}3\\ \mathrm{m/s} + 0{,}07\\ \mathrm{m/s^4}\,t^3,
e pede a velocidade média no intervalo de tempo de t_1=1{,}6\\ \mathrm{s} até t_2=4{,}3\\ \mathrm{s}, expressa em \mathrm{km/h}. Para isso, vamos usar o conceito de velocidade média num movimento não uniforme
\bar v = \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,\mathrm{d}t,
e depois converter o resultado de \mathrm{m/s} para \mathrm{km/h}.

Passo 2

Primeiro, encontramos uma antiderivada F(t) de v(t). Como
v(t)=2{,}3 + 0{,}07\,t^3,
temos
F(t)=\int \bigl(2{,}3 + 0{,}07\,t^3\bigr)\,\mathrm{d}t =2{,}3\,t + 0{,}07\cdot\frac{t^4}{4} =2{,}3\,t + 0{,}0175\,t^4.

Passo 3

Avaliamo F(t) nos extremos do intervalo:
em t_2=4{,}3\\ \mathrm{s}
F(4{,}3)=2{,}3\cdot4{,}3 + 0{,}0175\,(4{,}3)^4 =9{,}89 + 0{,}0175\cdot341{,}8801 \approx 9{,}89 + 5{,}983 =15{,}873\,
e em t_1=1{,}6\\ \mathrm{s}
F(1{,}6)=2{,}3\cdot1{,}6 + 0{,}0175\,(1{,}6)^4 =3{,}68 + 0{,}0175\cdot6{,}5536 \approx 3{,}68 + 0{,}115 =3{,}795.

Passo 4

A integral de v(t) de 1{,}6 até 4{,}3 é
\int_{1{,}6}^{4{,}3}v(t)\,\mathrm{d}t =F(4{,}3)-F(1{,}6) \approx 15{,}873 - 3{,}795 =12{,}078\\ \mathrm{m}.
Assim, a velocidade média em \mathrm{m/s} fica
\bar v = \frac{12{,}078}{4{,}3 - 1{,}6} = \frac{12{,}078}{2{,}7} \approx 4{,}475\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Para converter de \mathrm{m/s} para \mathrm{km/h} multiplicamos por 3{,}6:
\bar v_{\mathrm{km/h}} =4{,}475 \times 3{,}6 \approx 16{,}11\\ \mathrm{km/h}.

Resposta

A velocidade média da guepardo no intervalo dado é aproximadamente 16{,}1\\ \mathrm{km/h}.

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