Considerando um perfil parabólico de velocidades do tipo v(y)=a+b y^{2} determine (a) o gradiente de velocidade neste escoamento e (b) a tensão de cisalhamento (ou taxa de angular deformação) em y=0 e y=-100 m m. Considere um fluído com viscosidade dinâmica de 8.10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{ms}.

Passo 1

O enunciado dá um perfil parabólico de velocidades ao longo da coordenada y,
v(y)=a+b\,y^{2},
e pede:
–(a) o gradiente de velocidade \dfrac{dv}{dy};
–(b) a tensão de cisalhamento (ou taxa de angular deformação) em y=0 e em y=-100\\ \mathrm{mm}, sabendo que a viscosidade dinâmica é \mu=8\times10^{-3}\,\mathrm{kg/(m\,s)}.

Passo 2

Para qualquer perfil v(y), o gradiente de velocidade é a derivada de v em relação a y. Aqui
\frac{dv}{dy} =\frac{d}{dy}\bigl(a+b\,y^{2}\bigr) =2\,b\,y.

Passo 3

Em um fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento \tau relaciona-se à viscosidade e ao gradiente de velocidade por
\tau(y) =\mu\,\frac{dv}{dy} =\mu\,(2\,b\,y).
A própria taxa de angular deformação \dot\gamma é \dot\gamma(y)=\dfrac{dv}{dy}=2\,b\,y.

Passo 4

Em y=0:
\frac{dv}{dy}\Big|_{y=0} =2\,b\,(0)=0, \quad \tau(0)=\mu\cdot0=0.

Passo 5

Em y=-100\\ \mathrm{mm}=-0{,}1\\ \mathrm{m}:
\frac{dv}{dy}\Big|_{y=-0{,}1} =2\,b\,(-0{,}1)=-0{,}2\,b,
\tau(-0{,}1) =\mu\,( -0{,}2\,b ) =8\times10^{-3}\,\bigl(-0{,}2\,b\bigr) =-1{,}6\times10^{-3}\,b\quad(\mathrm{Pa}).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dv}{dy}=2\,b\,y.
(b) Em y=0: \displaystyle \frac{dv}{dy}=0,\\ \tau=0.
Em y=-100\\ \mathrm{mm}: \displaystyle \frac{dv}{dy}=-0{,}2\,b,\\ \tau=-1{,}6\times10^{-3}\,b\\ (\mathrm{Pa}).

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