Considere a probabilidade de encontrar o elétron no átomo de hidrogênio em algum lugar dentro de um cone de semiângulo 23,5^{\circ} do eixo +z (“região polar ártica”). (a) Se o elétron fosse igualmente provável em qualquer lugar do espaço, qual seria a probabilidade de encontrar o elétron na região polar ártica? (b) Suponha que o átomo esteja no estado \mathrm{n}=2, l=1, m_{l}=0; recalcule a probabilidade de encontrar o elétron na região polar ártica.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de achar o elétron dentro de um cone de semiângulo \alpha = 23,5^\circ em torno do eixo +z.
Conteúdo: coordenadas esféricas, ângulo sólido e, no caso (b), funções angulares (harmônicos esféricos) de um elétron em estado \mathrm{n}=2, l=1, m=0.

Passo 2

(a) Se o elétron fosse uniforme em todo o espaço, a probabilidade é a fração do ângulo sólido do cone sobre 4\pi. O ângulo sólido de um cone de semiângulo \alpha é
\Omega_{\rm cone} \;=\; 2\pi\bigl(1 - \cos\alpha\bigr),
logo
P_{\rm (a)} \;=\;\frac{\Omega_{\rm cone}}{4\pi} \;=\;\frac{1 - \cos\alpha}{2}.

Passo 3

Substituindo \alpha = 23,5^\circ:
\cos(23,5^\circ)\approx 0{,}917 \quad\Longrightarrow\quad P_{\rm (a)} = \frac{1 - 0{,}917}{2}\approx 0{,}0415\;(4{,}15\%).

Passo 4

(b) No estado \mathrm{n}=2, l=1, m=0, a densidade angular é
|Y_{1,0}(\theta,\varphi)|^2 \;=\;\frac{3}{4\pi}\cos^2\theta.
A parte radial normaliza-se a 1, restando
P_{\rm (b)} = \int_{\varphi=0}^{2\pi}\!\!\int_{\theta=0}^\alpha \frac{3}{4\pi}\cos^2\theta\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi = 2\pi\frac{3}{4\pi}\int_0^\alpha\cos^2\theta\,\sin\theta\,d\theta = \frac{3}{2}\int_0^\alpha\cos^2\theta\,\sin\theta\,d\theta.
Fazendo u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta, obtém–se
P_{\rm (b)} = \frac{3}{2}\int_{u=1}^{u=\cos\alpha}u^2(-du) = \frac{3}{2}\int_{\cos\alpha}^{1}u^2\,du = \frac{1}{2}\bigl(1 - \cos^3\alpha\bigr).

Passo 5

Calculemos numericamente com \cos\alpha\approx0{,}917:
\cos^3\alpha \approx 0{,}917^3 \approx 0{,}771 \quad\Longrightarrow\quad P_{\rm (b)} = \frac{1 - 0{,}771}{2} \approx 0{,}1145\;(11{,}45\%).

Resposta

(a) \displaystyle P_{\rm (a)} = \frac{1 - \cos(23,5^\circ)}{2}\approx0{,}0415.
(b) \displaystyle P_{\rm (b)} = \frac{1 - \cos^3(23,5^\circ)}{2}\approx0{,}1145.

Exercícios relacionados