Considere a probabilidade de encontrar o elétron no átomo de hidrogênio em algum lugar dentro de um cone de semiângulo
do eixo
(“região polar ártica”). (a) Se o elétron fosse igualmente provável em qualquer lugar do espaço, qual seria a probabilidade de encontrar o elétron na região polar ártica? (b) Suponha que o átomo esteja no estado
,
; recalcule a probabilidade de encontrar o elétron na região polar ártica.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de achar o elétron dentro de um cone de semiângulo
em torno do eixo
.
Conteúdo: coordenadas esféricas, ângulo sólido e, no caso (b), funções angulares (harmônicos esféricos) de um elétron em estado .
Conteúdo: coordenadas esféricas, ângulo sólido e, no caso (b), funções angulares (harmônicos esféricos) de um elétron em estado
Passo 2
(a) Se o elétron fosse uniforme em todo o espaço, a probabilidade é a fração do ângulo sólido do cone sobre
. O ângulo sólido de um cone de semiângulo
é
logo
Passo 3
Substituindo
:
Passo 4
(b) No estado
,
,
, a densidade angular é
A parte radial normaliza-se a 1, restando
Fazendo
,
, obtém–se
Passo 5
Calculemos numericamente com
:
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)