B. Avalie as integrais múltiplas:
integral-1^2 integral1^4(x^2-2 x y) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integralx=-1^2integraly=1^4(x^2-2xy),dy,dx, que é um caso clássico de aplicação do Teorema de Fubini: basta integrar primeiro em y (internamente) e depois em x.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em y:
integral1^4(x^2-2xy),dy =integral1^4x^2,dy-2xintegral1^4y,dy =l[x^2yr]1^4-2xl[tfracy^22r]1^4 =l(4x^2 - x^2r)-xl(16-1r) =3x^2-15x

Passo 3

Agora a integral externa em x fica
integral-1^2(3x^2-15x),dx =3integral-1^2x^2,dx-15integral-1^2x,dx =3l[tfracx^33r]-1^2-15l[tfracx^22r]-1^2

Passo 4

Basta avaliar os limites:
  • Para x=2: 2^3 - tfrac152cdot2^2 = 8 - 30 = -22.
  • Para x=-1: (-1)^3 - tfrac152cdot(-1)^2 = -1 - 7,5 = -8,5.
    Subtraindo: (-22)-(-8{,}5) = -13{,}5 = -\tfrac{27}{2}."

Resposta

-\tfrac{27}{2}

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