a) (x+2 y)^2=(3 x-y)^2
b) (2 x+y-1)^3=(x-y+2)^3
c) x^2-9 y^2=0
d) 4 x^2-24 x y+36 y^2=0
e) |x|+|y|=2
f) (x-3 y+3)^2+(4 x+3 y-18)^2=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar as soluções em (x,y) para as seguintes equações:
a) (x+2y)^2=(3x-y)^2,
b) (2x+y-1)^3=(x-y+2)^3,
c) x^2-9y^2=0,
d) 4x^2-24xy+36y^2=0,
e) lvert xrvert + lvert yrvert =2,
f) (x-3y+3)^2+(4x+3y-18)^2=0.
Vamos usar propriedades de potências, fatoração e definição de valor absoluto para encontrar todas as soluções.

Passo 2

Para a) (x+2y)^2=(3x-y)^2 usamos a propriedade
A^2=B^2iff A=pm B
Assim resolvemos
x+2y=3x-y ou x+2y=-(3x-y)
No primeiro caso
x+2y=3x-yimplies -2x+3y=0implies y=23x
No segundo caso
x+2y=-3x+yimplies 4x+y=0implies y=-4x
Logo, as soluções são as retas
y=tfrac23x e y=-4x

Passo 3

Para b) (2x+y-1)^3=(x-y+2)^3 usamos
A^3=B^3iff A=B
Logo basta ter
2x+y-1 = x-y+2 implies x+2y-3=0 implies x+2y=3
A solução é a reta
x+2y=3

Passo 4

Para c) x^2-9y^2=0 reconhecemos diferença de quadrados:
x^2-9y^2 = (x-3y)(x+3y)=0
Assim
x-3y=0implies x=3y ou x+3y=0implies x=-3y
São duas retas.

Passo 5

Para d) 4x^2-24xy+36y^2=0 observamos que é quadrado perfeito:
4x^2-24xy+36y^2 = (2x-6y)^2 =0
Logo
2x-6y=0implies x=3y

Passo 6

Para e) lvert xrvert+lvert yrvert=2 usamos a definição de valor absoluto, dividindo em quatro casos:
caso 1: x>=0,;y>=0implies x+y=2;
caso 2: x>=0,;y<=0implies x-y=2;
caso 3: x<=0,;y>=0implies -x+y=2;
caso 4: x<=0,;y<=0implies -x-y=2.
Geometricamente, é o contorno do losango de vértices (pm2,0) e (0,pm2).

Passo 7

Para f) (x-3y+3)^2+(4x+3y-18)^2=0 a soma de quadrados só pode ser zero se cada termo for zero:
x-3y+3=0, 4x+3y-18=0
Do primeiro obtemos x=3y-3. Substituindo no segundo:
4(3y-3)+3y-18=0 implies 12y-12+3y-18=0 implies 15y-30=0 implies y=2
Logo x=3cdot2-3=3. A única solução é (3,2).

Resposta

a) As retas y=tfrac23x e y=-4x.
b) A reta x+2y=3.
c) As retas x=3y e x=-3y.
d) A reta x=3y.
e) O contorno do losango definido por lvert xrvert+lvert yrvert=2, i.e.\ as quatro retas dos quatro casos.
f) O ponto (3,2).

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