r: x-3 y+12=0 e s: 5 x+3 y-6=0
Consideremos um ponto A da reta r e um ponto B da reta s tais que o ponto M=(6,2) seja o ponto médio do segmento A B. Determine as coordenadas dos pontos A e B. Resp: A=(9,7) e B=(3,-3)

Passo 1

O enunciado dá duas retas
r: x - 3y + 12 = 0e s: 5x + 3y - 6 = 0
e pede dois pontos Ain r e Bin s tais que o ponto médio de AB seja M=(6,2). Vamos usar fórmula do ponto médio e as equações das retas.

Passo 2

Sejam
A=(xA,yA), B=(xB,yB)
Como M é o ponto médio de AB, temos
xA + xB2 = 6, yA + yB2 = 2
que levam a
xA + xB = 12, yA + yB = 4

Passo 3

Os pontos A e B ainda satisfazem as equações de r e s:
xA - 3yA + 12 = 0, 5xB + 3yB - 6 = 0

Passo 4

Da soma xA + xB =12 e yA + yB =4 isolamos
xB = 12 - xA, yB = 4 - yA
e substituímos em 5xB + 3yB - 6 = 0:
5(12 - xA) + 3(4 - yA) - 6 = 0 ;Longrightarrow; 60 -5xA +12 -3yA -6 = 0 ;Longrightarrow; 5xA + 3yA = 66
Agora unimos com xA - 3yA +12=0, ou seja
xA - 3yA = -12
Somando essas duas equações:
(5xA + 3yA) + (xA - 3yA) = 66 + (-12) ;Longrightarrow; 6xA = 54 ;Longrightarrow; xA = 9
De xA - 3yA = -12 segue
9 - 3yA = -12 ;Longrightarrow; yA = 7
Logo A = (9,7). Finalmente
xB = 12 - 9 = 3, yB = 4 - 7 = -3,
ou seja B = (3,-3).

Resposta

A = (9,7) e B = (3,-3).

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