r:(alpha+2) x+4 y+4=0 e s:(2 alpha+1) x+(alpha+3) y+5=0
Determine as posições relativas entre r e s em função de alpha.
Resp: a) alpha=1, paralelas; alpha=2, coincidentes e alpha neq 1 e alpha neq 2, concorrentes

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas
r:(alpha+2)x+4y+4=0
e
s:(2alpha+1)x+(alpha+3)y+5=0
O conteúdo aqui é geometria analítica de retas no plano. Para determinar se são concorrentes, paralelas ou coincidentes, vamos comparar os coeficientes na forma geral a x + b y + c = 0.

Passo 2

Chamando
a1 = alpha+2, b1 = 4, c1 = 4,
a2 = 2alpha+1, b2 = alpha+3, c2 = 5,
o critério para paralelismo (ou coincidência) é
De<a = a1 b2 - a2 b1 = 0
Calculando:
De<a = (alpha+2)(alpha+3) - 4(2alpha+1) = alpha^2 +5alpha +6 -8alpha -4 = alpha^2 -3alpha +2 = (alpha-1)(alpha-2)
Logo De<a=0 se, e somente se, alpha=1 ou alpha=2.

Passo 3

Se alphaneq1 e alphaneq2, então De<aneq0, ou seja, os vetores diretores não são múltiplos e as retas se intersectam num único ponto. Logo são concorrentes para alphaneq1,2.

Passo 4

Para alpha=1 temos
r:3x+4y+4=0, s:3x+4y+5=0
Aqui (a1,b1)=(a2,b2) mas c1neq c2, então são paralelas distintas.

Passo 5

Para alpha=2 temos
r:4x+4y+4=0;Longrightarrow;x+y+1=0, s:5x+5y+5=0;Longrightarrow;x+y+1=0
Neste caso os três coeficientes (a,b,c) são proporcionais, ou seja, as retas coincidem.

Resposta

alpha=1, paralelas;
alpha=2, coincidentes;
alphaneq1 e alphaneq2, concorrentes.

Exercícios relacionados