a)
b)
c)
d)
e) Se , encontre e .
f) Se , encontre e .
Passo 1
O enunciado pede para as partes (a)–(d) calcular a derivada e avaliá-la no valor de dado; para (e) calcular , o vetor unitário tangente , a segunda derivada e o produto vetorial ; e para (f) calcular , , o vetor unitário tangente e o produto escalar . Vamos usar regras padrão de derivação (produto, cadeia, derivadas de funções trigonométricas e exponenciais) e as definições
Passo 2
Para (a) .
Derivando componente a componente:
Avalia em :
Passo 3
Para (b) .
Passo 4
Para (c) .
Passo 5
Para (d) .
Em , , , , então
Passo 6
Para (e) .
A norma em é , logo
Passo 7
Ainda em (e), segunda derivada e produto vetorial:
Passo 8
Para (f) r(t)=lang<= e^2t,,e^-2t,,t e^2trang<=.
r'(t)=lang<=2e^2t,,-2e^-2t,;e^2t(1+2t)rang<=,
r''(t)=lang<=4e^2t,,4e^-2t,,4e^2t(1+t)rang<=
Em t=0: r'(0)=lang<=2,-2,1rang<=, r''(0)=lang<=4,4,4rang<=,