a) r(t)=lang<= t e^-t, 2 arctg t, 2 e^trang<=, t=0
b) r(t)=lang<= t^3+3 t, t^2+1,3 t+4rang<=, t=1
c) r(t)=cos t i+3 t j+2 sen 2 t k, t=0
d) r(t)=sen^2 t i+cos ^2 t j+tg^2 t k, t=pi / 4
e) Se r(t)=lang<= t, t^2, t^3rang<=, encontre r^prime(t), T(1), r^prime prime(t) e r^prime(t) times r^prime prime(t).
f) Se r(t)=lang<= e^2 t, e^-2 t, t e^2 trang<=, encontre T(0), r^prime prime(0) e r^prime(t) cdot r^prime prime(t).

Passo 1

O enunciado pede para as partes (a)–(d) calcular a derivada r'(t) e avaliá-la no valor de t dado; para (e) calcular r'(t), o vetor unitário tangente T(1), a segunda derivada r''(t) e o produto vetorial r'(t)timesr''(t); e para (f) calcular r'(t), r''(t), o vetor unitário tangente T(0) e o produto escalar r'(t)cdotr''(t). Vamos usar regras padrão de derivação (produto, cadeia, derivadas de funções trigonométricas e exponenciais) e as definições
T(t)=r'(t)|r'(t)|, r'timesr'' e r'cdotr''

Passo 2

Para (a) r(t)=lang<= t e^-t,2arctan t,2e^trang<=.
Derivando componente a componente:
r'(t) =llang<= e^-t(1-t),;2cdot11+t^2,;2e^trrang<=
Avalia em t=0:
r'(0)=lang<= 1,,2,,2rang<=

Passo 3

Para (b) r(t)=lang<= t^3+3t,;t^2+1,;3t+4rang<=.
r'(t)=lang<= 3t^2+3,;2t,;3rang<=, r'(1)=lang<= 6,,2,,3rang<=

Passo 4

Para (c) r(t)=cos t,i+3t,j+2sin(2t),k.
r'(t)=lang<= -sin t,;3,;4cos(2t)rang<=, r'(0)=lang<= 0,,3,,4rang<=

Passo 5

Para (d) r(t)=sin^2t,i+cos^2t,j+tan^2t,k.
r'(t) =lang<= 2sin tcos t,;-2sin tcos t,;2tan tsec^2trang<= =lang<= sin(2t),;-,sin(2t),;2tan tsec^2trang<=
Em t=pi/4, sin(2t)=1, tan(pi/4)=1, sec^2(pi/4)=2, então
r'l(tfracpi4r)=lang<= 1,,-1,;4rang<=

Passo 6

Para (e) r(t)=lang<= t,;t^2,;t^3rang<=.
r'(t)=lang<= 1,,2t,,3t^2rang<=
A norma em t=1 é |r'(1)|=raiz1+4+9=raiz14, logo
T(1)=r'(1)|r'(1)| =lang<=1,2,3rang<=raiz14

Passo 7

Ainda em (e), segunda derivada e produto vetorial:
r''(t)=lang<=0,,2,,6trang<=,
r'(t)timesr''(t) =deti&j&k 1&2t&3t^2 0&2&6t =lang<= 6t^2,,-6t,,2rang<=

Passo 8

Para (f) r(t)=lang<= e^2t,,e^-2t,,t e^2trang<=.
r'(t)=lang<=2e^2t,,-2e^-2t,;e^2t(1+2t)rang<=,
r''(t)=lang<=4e^2t,,4e^-2t,,4e^2t(1+t)rang<=
Em t=0: r'(0)=lang<=2,-2,1rang<=, r''(0)=lang<=4,4,4rang<=,
|r'(0)|=raiz4+4+1=3, T(0)=lang<=2,-2,1rang<=3
Produto escalar em geral:
r'(t)cdotr''(t) =2e^2tcdot4e^2t+(-2e^-2t)cdot4e^-2t +e^2t(1+2t)cdot4e^2t(1+t)
=8e^4t-8e^-4t+4e^4t(1+2t)(1+t)

Resposta

a) r'(0)=lang<=1,2,2rang<=
b) r'(1)=lang<=6,2,3rang<=
c) r'(0)=lang<=0,3,4rang<=
d) r'l(tfracpi4r)=lang<=1,-1,4rang<=
e) r'(t)=lang<=1,2t,3t^2rang<=,
T(1)=lang<=1,2,3rang<=/raiz14,
r''(t)=lang<=0,2,6trang<=,
r'timesr''=lang<=6t^2,-6t,2rang<=
f) T(0)=lang<=2,-2,1rang<=/3,
r''(0)=lang<=4,4,4rang<=,
r'(t)cdotr''(t)=8e^4t-8e^-4t+4e^4t(1+2t)(1+t)

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