Encontre uma série de potências, centrada em a
, e determine seu raio e intervalo de convergência: b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de séries de potências! O problema pede para a gente encontrar uma série de potências centrada em
para a função
. Além disso, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e propriedades de logs.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Sabemos que
pode ser escrita como
. Então, nossa função fica:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar ainda mais:
Passo 4
Agora, vamos lembrar que
. Então, nossa função fica:
Passo 5
Sabemos que as séries de Taylor para
e
são:
Substituindo na nossa função:
Passo 6
Vamos combinar as séries:
Note que
será:
- 0, se
for par - 2, se
for ímpar
Então, podemos reescrever a série apenas com termos ímpares:
Passo 7
Agora, determinamos o raio de convergência. Como a série derivou de uma função definida para
, o raio de convergência é 1. Para o intervalo, já que a função original está definida nesse intervalo, temos:
Resposta
A série de potências centrada em
para
é:
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.