Encontre uma série de potências, centrada em a =0, e determine seu raio e intervalo de convergência: b) f(x)=ln raiz1+x1-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de séries de potências! O problema pede para a gente encontrar uma série de potências centrada em a = 0 para a função f(x) = ln raiz1+x1-x . Além disso, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e propriedades de logs.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função f(x) . Sabemos que raiz1+x1-x pode ser escrita como (1+x1-x)^1/2 . Então, nossa função fica:
f(x) = ln (1+x1-x)^1/2

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz ln(a^b) = b ln(a) , podemos simplificar ainda mais:
f(x) = 12 ln (1+x1-x)

Passo 4

Agora, vamos lembrar que ln(1+x1-x) = ln(1+x) - ln(1-x) . Então, nossa função fica:
f(x) = 12 [ln(1+x) - ln(1-x)]

Passo 5

Sabemos que as séries de Taylor para ln(1+x) e ln(1-x) são:
ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn, |x| < 1
ln(1-x) = -sumn=1^infty x^nn, |x| < 1
Substituindo na nossa função:
f(x) = 12 [ sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn + sumn=1^infty x^nn ]

Passo 6

Vamos combinar as séries:
f(x) = 12 sumn=1^infty [ (-1)^n+1 + 1 ] x^nn
Note que (-1)^n+1 + 1 será:
  • 0, se n for par
  • 2, se n for ímpar
Então, podemos reescrever a série apenas com termos ímpares:
f(x) = sumk=0^infty x^2k+12k+1, |x| < 1

Passo 7

Agora, determinamos o raio de convergência. Como a série derivou de uma função definida para |x| < 1 , o raio de convergência é 1. Para o intervalo, já que a função original está definida nesse intervalo, temos:
-1 < x < 1

Resposta

A série de potências centrada em a = 0 para f(x) = ln raiz1+x1-x é:
f(x) = sumk=0^infty x^2k+12k+1, |x| < 1
O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é -1 < x < 1 .

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