Seja
, com
, a equação de uma reta que passa pelo ponto
.
Se
é a área do triângulo retângulo situado no 10 quadrante, com cada um dos seus catetos apoiados nos eixos coordenados e cuja hipotenusa contém o ponto
, mostre que
Explique porque somente a teoria desenvolvida até agora não nos permite concluir que
tem ponto de mínimo.
Se
Passo 1
Queremos achar a área do triângulo retângulo cujos catetos são os interceptos da reta
com os eixos e que passa pelo ponto
. Usaremos geometria analítica: primeiro determinamos
em função de
, depois achamos os interceptos com os eixos e, finalmente, a área em função de
.
Passo 2
Como a reta passa por
, basta substituir na equação
:
Logo,
Passo 3
O intercepto no eixo
é o ponto
. O intercepto no eixo
vem de
em
:
Substituindo
obtemos
Passo 4
A área do triângulo com catetos de comprimentos
-intercepto e
-intercepto vale
Substituindo
e simplificando chegamos a
com a condição
para garantir interceptos positivos.
Passo 5
Não podemos afirmar que
atinge um valor mínimo somente com a teoria atual porque o domínio
não é compacto e não estudamos derivadas nem o teorema de extremização de funções contínuas em intervalos não fechados. Nessas condições, não há garantia teórica de existência de mínimo sem ferramentas de cálculo.