Seja ym(x)=m x+b, com m neq 0, a equação de uma reta que passa pelo ponto (2,3).
Se A(m) é a área do triângulo retângulo situado no 10 quadrante, com cada um dos seus catetos apoiados nos eixos coordenados e cuja hipotenusa contém o ponto (2,3), mostre que
A(m)=-(2 m-3)^22 m, m<0
Explique porque somente a teoria desenvolvida até agora não nos permite concluir que A tem ponto de mínimo.

Passo 1

Queremos achar a área do triângulo retângulo cujos catetos são os interceptos da reta y=mx+b com os eixos e que passa pelo ponto (2,3). Usaremos geometria analítica: primeiro determinamos b em função de m, depois achamos os interceptos com os eixos e, finalmente, a área em função de m.

Passo 2

Como a reta passa por (2,3), basta substituir na equação y=mx+b:
3=mcdot2+b
Logo,
b=3-2m .

Passo 3

O intercepto no eixo y é o ponto (0,b). O intercepto no eixo x vem de y=0 em y=mx+b:
0=m x + b
x=-bm
Substituindo b=3-2m obtemos
x=-3-2mm .

Passo 4

A área do triângulo com catetos de comprimentos x-intercepto e y-intercepto vale
A(m)=12l(-tfracbmr)cdot b
Substituindo b=3-2m e simplificando chegamos a
A(m)=-(2m-3)^22m
com a condição m<0 para garantir interceptos positivos.

Passo 5

Não podemos afirmar que A(m) atinge um valor mínimo somente com a teoria atual porque o domínio m<0 não é compacto e não estudamos derivadas nem o teorema de extremização de funções contínuas em intervalos não fechados. Nessas condições, não há garantia teórica de existência de mínimo sem ferramentas de cálculo.

Passo 6

Passo 7

Resposta

A(m)=-dfrac(2m-3)^22m, m<0 Apenas com a teoria algébrica (sem derivadas nem teoremas de máximos em intervalos não compactos) não podemos concluir rigorosamente que A tem ponto de mínimo.

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