(a) log 9 81=2;
(b) log 0,0001=-4;
(c) log 9 3=12;
(d) log 3 16=t;
(e) log t=3;
(f) ln 4=x;
(g) log 3 x^2-2 x+4=2 t+1;
(h) log 9 raiz3=x.

Passo 1

O enunciado nos dá vários cálculos e equações envolvendo logaritmos em diferentes bases. O objetivo é usar as definições e propriedades de logaritmos (por exemplo, se logb a=c então b^c=a, e logb(a^k)=k,logb a) para avaliar ou resolver cada item.

Passo 2

Itens (a), (b) e (c) são avaliações diretas de logaritmos:
– (a) log981=c se e somente se 9^c=81. Como 9^2=81, segue
log981=2
– (b) log 0,0001=c se e somente se 10^c=0,0001=10^-4. Logo
log 0,0001=-4
– (c) log93=c se e somente se 9^c=3. Como 9^1/2=3, temos
log93=tfrac12

Passo 3

Itens (d), (e) e (f) são equações simples em logaritmo:
– (d) log316=t significa simplesmente
t=log316
– (e) log t=3 (base 10) implica
t=10^3=1000
– (f) ln4=x (logaritmo natural) implica
x=ln4

Passo 4

Item (g) pede resolver
log3l(x^2-2x+4r)=2t+1
em função de t. Primeiro reescrevemos em forma exponencial:
x^2-2x+4=3^,2t+1
Isso gera a equação quadrática
x^2-2x+l(4-3^,2t+1r)=0
O discriminante é
De<a =(-2)^2-4cdot1cdotl(4-3^,2t+1r) =4-16+4cdot3^,2t+1 =4l(3^,2t+1-3r)
Logo as raízes são
x=2pmraizDe<a2 =1pmraiz3^,2t+1-3

Passo 5

Item (h) é avaliar
log9raiz3=x
Escrevemos raiz3=3^1/2 e 9=3^2, então
log3^23^1/2 =1/22 =14
Portanto
log9raiz3=tfrac14

Resposta

(a) 2
(b) -4
(c) tfrac12
(d) t=log316
(e) t=1000
(f) x=ln4
(g) x=1pmraiz3^,2t+1-3
(h) tfrac14

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