Use transformada de Laplace para resolver as seguintes equaçōes diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com termos constantes
sujeita a
e
.
Aqui é a função degrau unitário atrasada em
, isto é
.
Vamos usar a transformada de Laplace para passar a EDO para o domínio de , resolver algébrica-mente e depois inverter de volta para o domínio do tempo.
Aqui
Vamos usar a transformada de Laplace para passar a EDO para o domínio de
Passo 2
Aplicamos em ambos os lados, usando
e
Isso dá
Somando termos:
Passo 3
Isolamos
:
onde definimos
Passo 4
Invertendo termo a termo (sem o escalonamento):
. (\displaystyle \Laplace^{-1}!\bigl[\tfrac{s}{D(s)}\bigr]
= \Laplace^{-1}!\Bigl[\frac{s + \tfrac{1}{2}}{(s + \tfrac{1}{2})^2 + 1}\Bigr]
= \Laplace^{-1}!\Bigl[\frac{s + \tfrac{1}{2}}{(s + \tfrac{1}{2})^2 + 1}\Bigr]
- \tfrac{1}{2} \Laplace^{-1}!\Bigl[\frac{1}{(s + \tfrac{1}{2})^2 + 1}\Bigr]
= e^{-t/2} \cos t - \tfrac{1}{2} , e^{-t/2} \sin t.)
.
obtido por frações parciais.
Somando esses dois resultados:
Passo 5
Agora o termo com deslocamento:
onde
.
Portanto, a solução completa é
Portanto, a solução completa é
Resposta
Para
:
Para
: