Use transformada de Laplace para resolver as seguintes equaçōes diferenciais:
ly^prime prime+y^prime+54 y=1-mho(t-pi) y(0)=1, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com termos constantes
y'' + y' + 54 y = 1 - mho(t - pi),
sujeita a y(0) = 1 e y'(0) = -1.
Aqui mho(t - pi) é a função degrau unitário atrasada em pi, isto é mho(t - pi) = U(t - pi).
Vamos usar a transformada de Laplace para passar a EDO para o domínio de s, resolver algébrica-mente e depois inverter de volta para o domínio do tempo.

Passo 2

Aplicamos em ambos os lados, usando
e
Isso dá
Somando termos:

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s) =1s-e^-pi ss + ss^2+s+tfrac54 =sD(s)+1s,D(s)-e^-pi ss,D(s),
onde definimos
D(s)=s^2+s+54=l(s+tfrac12r)^2+1

Passo 4

Invertendo termo a termo (sem o escalonamento):
. (\displaystyle \Laplace^{-1}!\bigl[\tfrac{s}{D(s)}\bigr]
= \Laplace^{-1}!\Bigl[\frac{s + \tfrac{1}{2}}{(s + \tfrac{1}{2})^2 + 1}\Bigr]
  • \tfrac{1}{2} \Laplace^{-1}!\Bigl[\frac{1}{(s + \tfrac{1}{2})^2 + 1}\Bigr]
    = e^{-t/2} \cos t - \tfrac{1}{2} , e^{-t/2} \sin t.)
    .
    obtido por frações parciais.
    Somando esses dois resultados:

Passo 5

Agora o termo com deslocamento:
onde .
Portanto, a solução completa é

Resposta

Para 0<= t<pi:
y(t)=45+15e^-t/2cos t-910e^-t/2sin t
Para t>=pi:
y(t) =45+15e^-t/2cos t-910e^-t/2sin t -45+45e^-(t-pi)/2cos(t-pi) +25e^-(t-pi)/2sin(t-pi)

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