Use o método da variação de parâmetros:
X^prime=(ll1 & -1 1 & -1) X+binom1 / t1 / t, X(1)=binom2-1

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear não homogêneo
X' = A,X + f(t),
com
A = 1 & -1[6pt]1 & -1, f(t)=1/t[3pt]1/t,
e a condição inicial X(1)=(2,,-1)^T.
O conteúdo é o método de variação de parâmetros para sistemas, que consiste em achar a matriz fundamental do sistema homogêneo e depois escrever
X(t)=Phi(t),u(t),
onde Phi é a matriz fundamental e u satisfaz u'=Phi^-1f.]

Passo 2

Primeiro resolvemos o sistema homogêneo X'=AX. Como
A^2=1&-11&-1^2 =0&00&0,
temos e^At=I + At. Logo uma matriz fundamental é
Phi(t)=I + tA =1+t & -t[3pt]t & 1-t ]

Passo 3

No método de variação de parâmetros escrevemos X=Phi,u. Isto implica
u'=Phi^-1(t),f(t)
Como detPhi(t)=1,
Phi^-1(t) =1-t & t[3pt]-t & 1+t
Então
u'(t) =1-t & t[3pt]-t & 1+t 1/t[3pt]1/t =1/t[3pt]1/t ]

Passo 4

Integramos componente a componente:
u1(t)=integral1t,dt=ln t + C1, u2(t)=integral1t,dt=ln t + C2
Logo
u(t)=(ln t+C1,;ln t+C2)^T.

Passo 5

Recuperamos X=Phi,u, isto é
x[3pt]y =1+t & -t[3pt]t & 1-t ln t + C1[3pt]ln t + C2
Fazendo as multiplicações:
x=(1+t)(ln t+C1)-t(ln t+C2), y=t(ln t+C1)+(1-t)(ln t+C2) ]

Passo 6

Impõe-se X(1)=(2,-1)^T. Como ln1=0, obtemos
x(1)=2C1 - C2 = 2, y(1)=C1 = -1
Então C1=-1 e 2(-1)-C2=2 leva a C2=-4.

Passo 7

Substituindo C1 e C2 em x,y, simplificamos:
x(t)=3t + ln t -1, y(t)=3t + ln t -4

Resposta

X(t) =x(t)[3pt]y(t) =3t + ln t -1[3pt]3t + ln t -4 ]

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