A questão pede o limite de uma função de duas variáveis quando $x,y)\ se aproxima de (1,2). O conteúdo envolvido é limites em várias variáveis e precisamos analisar o comportamento do numerador \((x y)$ e do denominador $(y - 2x)$ ao redor do ponto.
Passo 2
Avaliamo o valor do numerador e do denominador no ponto de interesse: substituindo $x=1$ e $y=2$ temos
$
$y=2
Passo 3
Como o numerador tende a 2 (positivo) e o denominador tende a zero, pode haver comportamento infinito. Para ver se há limite finito ou divergência, examinamos aproximações em direções diferentes.
Passo 4
Se nos aproximarmos de (1,2) por pontos onde $y - 2x>0$, o denominador é positivo e pequeno, o numerador é próximo de 2, logo
$y - 2x>0
Passo 5
Se nos aproximarmos por pontos onde $y - 2x<0$, o denominador é negativo e pequeno, o numerador ainda é próximo de 2, logo
$y - 2x<0
Passo 6
Como as duas direções levam a comportamentos diferentes ($+\infty$ e $-\infty$), o limite não pode existir de forma consistente.