Calcule, caso exista.
lim (x, y) (1,2) x yy-2 x

Passo 1

A questão pede o limite de uma função de duas variáveis quando $x,y)\ se aproxima de (1,2). O conteúdo envolvido é limites em várias variáveis e precisamos analisar o comportamento do numerador \((x y)$ e do denominador $(y - 2x)$ ao redor do ponto.

Passo 2

Avaliamo o valor do numerador e do denominador no ponto de interesse: substituindo $x=1$ e $y=2$ temos
$ x=1
$ y=2

Passo 3

Como o numerador tende a 2 (positivo) e o denominador tende a zero, pode haver comportamento infinito. Para ver se há limite finito ou divergência, examinamos aproximações em direções diferentes.

Passo 4

Se nos aproximarmos de (1,2) por pontos onde $y - 2x>0$, o denominador é positivo e pequeno, o numerador é próximo de 2, logo
$ y - 2x>0

Passo 5

Se nos aproximarmos por pontos onde $y - 2x<0$, o denominador é negativo e pequeno, o numerador ainda é próximo de 2, logo
$ y - 2x<0

Passo 6

Como as duas direções levam a comportamentos diferentes ($+\infty$ e $-\infty$), o limite não pode existir de forma consistente.

Resposta

O limite não existe.

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