Se a, b, c e d são constantes reais com c neq 0, mostre que
lim n infty a n+bc n+d=ac

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas constantes reais a, b, c, d com c \neq 0, temos
limntoinftya n + bc n + d = a c
O conteúdo é cálculo de limites de sequências racionais e vamos usar a ideia de dividir numerador e denominador pelo termo de maior ordem (n).

Passo 2

Para simplificar a expressão, dividimos top e bottom por n, que é o maior grau em n. Isso nos dá:
a n + bc n + d = nl(a + b/nr)nl(c + d/nr) = a + b nc + d n

Passo 3

Agora aplicamos o limite em cada termo. Como n \to \infty, sabemos que b/n to 0 e d/n to 0. Então, usando a álgebra de limites (a soma e o quociente):
limntoinftyl(a + tfrac b nr) = a,
limntoinftyl(c + tfrac d nr) = c,
e como c \neq 0 podemos dividir, obtendo
limntoinftya + b nc + d n = ac

Passo 4

Portanto, concluímos que a razão entre o coeficiente dominante do numerador e o do denominador é o valor do limite.

Resposta

ac

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