Sejam I um intervalo e f: I R uma função contínua no ponto a in I. Segue-se imediatamente das definições de continuidade e limite de sequências que se ( an ) é uma sequência com an in I para todo n e lim n infty an=a, então
lim n infty f(an)=f(a)
Use esse resultado para resolver os seguintes problemas:
Calcule o limite da sequência (bn) dada por bn=raiz[n]n.

Passo 1

O enunciado pede para calcular limntoinftybn onde bn=raiz[n]n=n^1/n. Vamos usar o fato de que, se lim an=a e f é contínua em a, então lim f(an)=f(a).

Passo 2

Reescrevemos bn usando exponencial e logaritmo para facilitar a aplicação de limites:
bn=raiz[n]n=e^lnl(n^1/nr)=e^(ln n)/n

Passo 3

Agora estudamos o limite da sequência sn=(ln n)/n. Note que limntoinftyln n=+infty e limntoinftyn=+infty, mas n cresce mais rápido que ln n. Aplicando a regra de L’Hôpital em
limntoinftyln nn
considerando n como variável real, temos
limxtoinftyln xx=limxtoinfty1/x1=0
Logo, limntoinftyln nn=0.

Passo 4

A função f(x)=e^x é contínua em 0. Pelo teorema da continuidade, se snto0 então e^snto e^0. Como bn=e^sn com sn=(ln n)/nto0, segue que
limntoinftybn=limntoinftye^(ln n)/n=e^0=1

Resposta

1

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